Присоединённое представление алгебры Ли

Присоединённым представлением алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ называется линейное представление $\operatorname {ad}$ алгебры ${\mathfrak {g}}$ в модуле ${\mathfrak {g}}$, действующее по формуле

$\operatorname {ad} _{x}y=[x,y],\ \ x,y\in {\mathfrak {g}},$

где $[\cdot ,\cdot ]$ ― операция в алгебре ${\mathfrak {g}}$.

Свойства

• Ядро $\ker \operatorname {ad}$ есть центр алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$.
• Присоединённые операторы $\operatorname {ad} _{x}$ являются дифференцированиями алгебры ${\mathfrak {g}}$ и называются внутренними дифференцированиями.
• Образ $\operatorname {ad}$ называется присоединённой алгеброй и является идеалом в алгебре Ли $\operatorname {Der} \,{\mathfrak {g}}$ всех дифференцирований алгебры ${\mathfrak {g}}$, причём $\operatorname {Der} \,{\mathfrak {g}}/\operatorname {ad} \,{\mathfrak {g}}$ есть пространство $H^{1}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}})$ 1-мерных когомологий алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$, определяемых присоединённым представлением.
  • В частности, $\operatorname {Der} \,{\mathfrak {g}}=\operatorname {ad} \,{\mathfrak {g}}$, если ${\mathfrak {g}}$ ― полупростая алгебра Ли над полем характеристики 0.

Литература

• Джекобсон Н. Алгебры Ли, — М., 1964;
• Понтрягин Л. С. Непрерывные группы, — 3 изд. — М., 1973;
• Серр Ж. — П. Алгебры Ли и группы Ли, пер. c англ. и франц., М., 1969;
• Хамфрис Дж. Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980.

См. также

• Присоединённое представление группы Ли