Простой идеал

Простой идеал — естественное обобщение понятия простого числа в теории колец.

Одна из важнейших конструкций коммутативной алгебры, использующих понятие простого идеала, — локализация кольца.

Определение

Идеал $I$ в кольце $A$ называется простым, если факторкольцо $A/I$ по нему является областью целостности.

Равносильная формулировка: если $I\neq A$ и из $ab\in I$ следует $a\in I$ или $b\in I$, то $I$ являет собой простой идеал.

Связанные понятия

Множество всех простых идеалов кольца $A$ образует спектр кольца $\mathrm {Spec} A$. В его определение также входит описание топологии и структурного пучка локальных колец, превращающие его в аффинную схему — базовый объект алгебраической геометрии.

Свойства

• Максимальный идеал $I$ кольца $A$ (то есть собственный идеал, не содержащийся ни в каком собственном идеале) является простым.

Доказательство

Действительно, пусть $ab\in I$, $a\notin I$. Рассмотрим идеал $J=I+aA$. Поскольку $I$ максимален, либо $J=I$ (что невозможно, поскольку $a\notin I$), либо $J=A$. Но тогда $1\in I+aA$, и, следовательно, $b\in bI+baA=I$.

• Идеал $I$ прост тогда и только тогда, когда элементы дополнения к нему образуют мультипликативную систему. Подмножество кольца с единицей называется мультипликативной системой, если оно содержит единицу, не содержит нуля и замкнуто по умножению.
• Теорема отделимости: Пусть в коммутативном кольце $A$ с единицей задан идеал $I$, не пересекающийся с мультипликативной системой $S_{0}$. Тогда существует простой идеал $I_{0}$, содержащий $I$ и не пересекающийся с системой $S_{0}$.
• Теорема о радикале: Пересечение всех простых идеалов, содержащих идеал $I$, совпадает с радикалом идеала $I$. Радикал идеала $I$ — это множество ${\sqrt {I}}=\{f\in A:\,\exists n\in \mathbb {N} \,\,f^{n}\in I\}$. Оно также является идеалом кольца $A$.

Доказательство

Пусть $J$ — простой идеал, содержащий $I$. Если элемент $f$ принадлежит радикалу ${\sqrt {I}}$, то некоторая его степень принадлежит идеалу $I\subset J$, поэтому $f$ не может принадлежать дополнению к $J$, так как это дополнение — мультипликативная система (если оно содержит $f$, то содержит и все его степени). Значит, $f$ принадлежит всем простым идеалам, содержащим идеал $I$.
Обратно: пусть $f$ не принадлежит радикалу ${\sqrt {I}}$. Тогда множество всех его степеней — мультипликативная система, не пересекающаяся с $I$. Согласно предыдущей теореме, существует простой идеал, содержащий $I$ и не содержащий ни одну из степеней элемента $f$. Следовательно, $f$ не принадлежит всем простым идеалам, содержащим идеал $I$.

Примеры

• В кольце целых чисел $A=\mathbb {Z}$ каждый простой идеал имеет вид $pA$, где $p$ — простое число.

Доказательство

Пусть $a\in I$ — наименьшее положительное число в $I$. Возьмем произвольное $b\in I$ и поделим с остатком на $a$ : $\quad b=a*g+r$, где $0\leq r<a$. В силу выбора $a$, имеем $r=0$, т.е. все элементы $I$ делятся на $a$. Таким образом, $I=a\mathbb {Z}$.

Положим, теперь $I=pA$. Поскольку из $ab\in pA$ следует $a\in pA$ или $b\in pA$, $p$ — простое число.

• В кольце многочленов от одной переменной $A=\mathbb {R} [x]$ каждый простой идеал имеет вид $pA$, где $p$ — неприводимый над $\mathbb {R}$ многочлен.
• В кольце многочленов $A=\mathbb {Q} [x,y]$ множество $I=xA+yA$ является простым идеалом.

Доказательство

Любой элемент $a\in \mathbb {Q} [x,y]$ можно представить в виде $a=a_{0}+a_{1}x+a_{2}y$, где $a_{1},a_{2}\in \mathbb {Q} [x,y]$ — некоторые многочлены, а $a_{0}\in \mathbb {Q}$ определено однозначно элементом $a$. Условие $ab\in I$ равносильно тогда условию $a_{0}b_{0}=0$, откуда следует либо $a_{0}=0$, либо $b_{0}=0$.

Некоммутативный случай

Понятие простого идеала коммутативного кольца является частным случаем понятия первичного идеала: первичным идеалом $I$ (не обязательно коммутативного) кольца $A$ называется всякий идеал (не совпадающий со всем кольцом) такой, что если два элемента $a,b\in A$ таковы, что $\forall r\in A\ arb\in I$, то или $a\in I$, или $b\in I$.

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.