Процедура Кэли — Диксона

Процедура Кэ́ли — Ди́ксона (процедура удвоения) — это итеративная процедура построения алгебр над полем (или над кольцом) с удвоением размерности на каждом шаге. Названа в честь Артура Кэли и Леонарда Диксона.

Эта процедура позволяет построить из действительных чисел последовательно их расширения: комплексные числа, кватернионы, октонионы, седенионы и т. д. Также используется в теореме Гурвица для нахождения всех нормированных алгебр с делением. Так, согласно данной теореме, действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы являются единственными нормированными алгебрами с делением (над полем действительных чисел).

Свойства алгебр Кэли — Диксона

Алгебра	Размер- ность (n)	Упорядо- ченность	Свойства умножения				Отсутствие нетрив. делителей нуля
			Коммута- тивность	Ассоциа- тивность	Альтерна- тивность	Степенная ассоциа- тивность
Действитель- ные числа ($\mathbb {R}$)	1	Да	Да	Да	Да	Да	Да
Комплексные числа ($\mathbb {C}$)	2	Нет	Да	Да	Да	Да	Да
Кватернионы ($\mathbb {H}$)	4	Нет	Нет	Да	Да	Да	Да
Октонионы ($\mathbb {O}$)	8	Нет	Нет	Нет	Да	Да	Да
Седенионы ($\mathbb {S}$)	16	Нет	Нет	Нет	Нет	Да	Нет
	> 16

Количество симметрий поля уменьшается при каждом применении процедуры Кэли — Диксона: сначала исчезает упорядоченность, затем коммутативность умножения, потом ассоциативность умножения и в итоге — альтернативность умножения (см. таблицу). Но при этом все алгебры сохраняют степенную ассоциативность умножения, а также по определению являются унитальными и их умножение дистрибутивно относительно сложения.

В более общем смысле процедура Кэли — Диксона переводит любую алгебру с инволюцией в другую алгебру с инволюцией в два раза большей размерности.

Общий случай

Если для некоторых чисел $a$ и $b$ существуют понятия: умножения, сопряжённого числа и нормы числа как $\ |a|^{2}=a{\bar {a}}$ (см. композиционная алгебра), то эти понятия можно ввести и для упорядоченных пар чисел $(a,b)$:

• $(a,b)(c,d)=(ac-{\bar {d}}b,da+b{\bar {c}})$ — закон умножения пар,

• ${\overline {(a,b)}}=({\bar {a}},-b)$ — сопряжённая пара.

Свойства

• (расширенная) норма упорядоченной пары:

$|(a,b)|^{2}=(a,b){\overline {(a,b)}}=(a,b)({\bar {a}},-b)=(a{\bar {a}}+b{\bar {b}},ba-ba)=(|a|^{2}+|b|^{2},0)=|a|^{2}+|b|^{2}$ — равна нулю только при a = b = 0.

• Если исходная алгебра была ассоциативной алгеброй с делением, то (расширенное) деление $\ r/q$ определяется как ${\frac {r{\bar {q}}}{|q|^{2}}}$ или ${\frac {{\bar {q}}r}{|q|^{2}}}$ — значит, из предыдущего свойства вытекает отсутствие делителей нуля.

• Если для чисел выполняется $\ {\overline {ab}}={\bar {b}}\cdot {\bar {a}},$ это выполняется и для упорядоченных пар:

${\overline {(a,b)(c,d)}}=({\bar {c}}{\bar {a}}-{\bar {b}}d,-da-b{\bar {c}})=({\bar {c}},-d)({\bar {a}},-b)={\overline {(c,d)}}\cdot {\overline {(a,b)}}.$

• Если исходная алгебра ассоциативна, то расширенная алгебра нормирована, поскольку:

$|rq|^{2}=(rq){\overline {(rq)}}=(rq)({\bar {q}}{\bar {r}})=r(q{\bar {q}}){\bar {r}}=|r|^{2}\cdot |q|^{2}.$

В общем случае результат оказывается неассоциативной алгеброй.

Наследуемые

Если исходная алгебра имеет единицу, то (1, 0) — единица в расширенной алгебре.

Если в исходной алгебре всякий элемент вида x + x* или x x* ассоциирует и коммутирует со всеми элементами, то такова же и расширенная алгебра. В частности, любой элемент порождает коммутативную *-алгебру, откуда следует свойство ассоциативности степеней.

Ослабляемые

1. Если исходная алгебра коммутативна и сопряжение тождественно, то расширенная алгебра коммутативна.
2. Если исходная алгебра коммутативна и ассоциативна, то расширенная алгебра ассоциативна.
3. Если исходная алгебра ассоциативна, и в исходной алгебре всякий элемент вида x + x* или x x* коммутирует со всеми элементами, то расширенная алгебра альтернативна.

Можно проследить на примере чисел, как из поля R с тождественным сопряжением получается поле C (*-алгебра с нетривиальным сопряжением), откуда получается некоммутативная *-алгебра (тело) H, откуда получается неассоциативная алгебра O, но альтернативная и нормированная, так что без делителей нуля. Дальнейшие алгебры будут иметь делители нуля, т. к. умножение перестанет быть совместимо с нормой.

Приложения

Комплексные числа

Процедура Кэли — Диксона соответствует определению комплексных чисел как упорядоченных пар вещественных чисел.

Кватернионы

Произвольный кватернион $\ q=a+bi+cj+dk$  можно представить в виде $\ q=(a+bi)+(c+di)j$ или, эквивалентно, $\ q=z_{1}+z_{2}\cdot j,\quad z_{1}=a+b\cdot i,\quad z_{2}=c+d\cdot i,$ где $\ z_{1},z_{2}$ — комплексные числа, поскольку $\ i^{2}=-1$ выполняется как для комплексных чисел, так и для кватернионов, а $k=i\cdot j$.

Возьмём ещё один кватернион $\ r=w_{1}+w_{2}j.$ Перемножив и раскрыв скобки (т. к. умножение кватернионов ассоциативно), получим:

$\ qr=(z_{1}+z_{2}j)(w_{1}+w_{2}j)=z_{1}w_{1}+z_{1}w_{2}j+z_{2}jw_{1}+z_{2}jw_{2}j.$

Поскольку $\ zj=j{\bar {z}},\;zw=wz,$ то, переставляя множители, получим: $\ qr=(z_{1}w_{1}-{\bar {w_{2}}}z_{2})+(w_{2}z_{1}+z_{2}{\bar {w_{1}}})j.$

Следовательно, кватернионы можно определять как выражения вида $\ z_{1}+z_{2}\cdot j$, удовлетворяющие вышеприведённой формуле умножения. Эта формула интересна тем, что она расширяет формулу умножения чисто комплексных чисел (т. е. кватернионов с $z_{2}=w_{2}=0$).

Обобщения

Предыдущие формулы строят гиперкомплексные системы, когда «мнимая единица расширения» имеет квадрат, равный «−1». Но при создании пар квадрат новой «мнимой единицы» можно взять как «+1» или даже «0», а также изменить (расширенный) закон умножения пар (см. алгебра Клиффорда). Правда, тогда норму и сопряжения (разного вида) нужно строить более сложно, также могут даже возникнуть и нетривиальные делители нуля. (См. напр. Тригинтадуонионы, так получаемые из Седенионов)

Ссылки

• Dickson, L. E. [in английский] (1919), "On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem", Annals of Mathematics, Second Series, Annals of Mathematics, 20 (3): 155—171, doi:10.2307/1967865, ISSN 0003-486X, JSTOR 1967865
• HyperJeff Sketching the History of Hypercomplex Numbers 1996–2006
• И.Л. Кантор, А.С. Солодовников. Гиперкомплексные числа. — Москва, "Наука". — 1973.
• Е.А. Каратаев «Гиперкомплексные числа. Классификатор»