Прямоугольная функция

Прямоуго́льная фу́нкция, едини́чный и́мпульс, прямоуго́льный импульс, или нормированное прямоугольное окно́ — кусочно-постоянная функция следующего вида:

Прямоугольная функция

$\mathrm {rect} (t)=\sqcap (t)={\begin{cases}0,&|t|>{\frac {1}{2}}\\[3pt]{\frac {1}{2}},&|t|={\frac {1}{2}}\\[3pt]1,&|t|<{\frac {1}{2}}\end{cases}}$

В этом определении в точках разрыва значение функции определено равным 1/2, но возможно определение этих значений иным способом, например, равным 0 и другими вариантами.

Другое определение функции через функцию Хевисайда $\theta (t)$:

$\mathrm {rect} \left({\frac {t}{\tau }}\right)=\theta \left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)-\theta \left(t-{\frac {\tau }{2}}\right),$

или, иначе:

$\mathrm {rect} (t)=\theta \left(t+{\frac {1}{2}}\right)-\theta \left(t-{\frac {1}{2}}\right).$

Значение функции в точках разрыва зависит от определения значения функции Хевисайда в её точке разрыва.

Интеграл прямоугольной функции по всей прямой:

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\,dt=1.$

Спектр прямоугольной функции

Функция sinc(x) является спектром прямоугольной функции

Спектральный образ прямоугольной функции:

${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {\omega }{2}}\right),$

$\mathrm {sinc} \left({\frac {\omega }{2}}\right)={\frac {\mathrm {sin} \left(\omega /2\right)}{\left(\omega /2\right)}}$ — ненормированная sinc-функция.

При использовании нормированной sinc-функции:

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=\mathrm {sinc} (f).$

Свёртка прямоугольных функций

Треугольная функция может быть определена как свёртка двух прямоугольных функций:

$\mathrm {tri} (t)=\mathrm {rect} (t)*\mathrm {rect} (t)\;.$

На основе бесконечнократных свёрток прямоугольных функций, длины которых убывают в геометрической прогрессии, строятся атомарные функции.

См. также

• Преобразование Фурье
• Треугольная функция
• Функция Хевисайда
• Атомарная функция