Псевдодуга

Псевдодуга — простейший пример континуума $K$, который наследственно несжимаем, то есть любой подконтинуум $K$ не может быть представлен как объединение двух собственных подконтинуумов.

Построение

Непрерывное отображение $f\colon [a,b]\to [c,d]$ из отрезка на отрезок называется $\varepsilon$-скрюченным если для любых значений $t_{1}<t_{2}$ в интервале $[a,b]$ найдутся значения $t_{1}<t_{2}'<t_{1}'<t_{2}$ такие, что

$|f(t_{1})-f(t_{1}')|<\varepsilon$ и $|f(t_{2})-f(t_{2}')|<\varepsilon$.

Псевдодугу можно построить как проективный предел последовательности $\varepsilon _{n}$-скрюченных отображений $f_{n}\colon [0,1]\to [0,1]$ для подходящей последовательности $\varepsilon _{n}$ достаточно быстро сходящейся к нулю.

Связанные определения

• Континуум называется змеевидным, если для любого его покрытия найдётся конечное вписанное покрытие ${U_{i}}$, $i\in \{1,2,\dots ,n\}$ такое, что $U_{i}\cap U_{j}\not =\varnothing$ тогда и только тогда, когда $|i-j|\leq 1$.

Свойства

• Псевдодуга вкладывается в евклидову плоскость.
• Никакие две точки псевдодуги не могут быть соединены путём,
  • В частности, псевдодуга не содержит жордановых дуг
• Существует область $\Omega$ в евклидовой плоскости гомеоморфная диску такая, что каждый нетривиальный собственный подконинуум $\partial \Omega$ гомеоморфен псевдодуге.
• Любой нетривиальный подконтинуум псевдодуги гомеоморфен псевдодуге.
• В пространстве всех подконтинуумов куба $[0,1]^{n}$, $n>1$ с метрикой Хаусдорфа псевдодуги образуют плотное G-дельта-множество.
• Псевдодуга является единственным с точностью до гомеоморфизма змеевидным наследственно несжимаем континуумом.

История

Первый пример несжимаемого континуума был построен Брауэром в 1910 году. Вопрос о существовании наследственно несжимаемого континуума был поставлен Куратовским и Кнастером. Вскоре пример был построен Кнастером.

См. также

• Озёра Вады

Литература

• И. М. Виноградов. Псевдодуга // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.