Распределение Фишера

Распределе́ние Фи́шера в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.

Распределение Фишера (Распределение Снедекора)
Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение	$F(d_{1},d_{2})$
Параметры	$d_{1}>0,\ d_{2}>0$ - числа степеней свободы
Носитель	$x\in [0;+\infty )$
Плотность вероятности	${\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}$
Функция распределения	$I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)$
Математическое ожидание	${\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}$, если $d_{2}>2$
Мода	${\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}$, если $d_{1}>2$
Дисперсия	${\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}},$ если $d_{2}>4$
Коэффициент асимметрии	${\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}},$ если $d_{2}>6$
Производящая функция моментов	не существует

Определение

Пусть $Y_{1},Y_{2}$ — две независимые случайные величины, имеющие распределение хи-квадрат: $Y_{i}\sim \chi ^{2}(d_{i})$, где $d_{i}\in \mathbb {N} ,\;i=1,2$. Тогда распределение случайной величины

$F={\frac {Y_{1}/d_{1}}{Y_{2}/d_{2}}}$ называется распределением Фишера (распределением Снедекора) со степенями свободы $d_{1}$ и $d_{2}$. Пишут $F\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})$.

Моменты

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей распределение Фишера, имеют вид:

$\mathbb {M} [F]={\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}$, если $d_{2}>2$,

$\mathrm {D} [F]={\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}$, если $d_{2}>4$.

Свойства распределения Фишера

• Если $F\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})$, то ${\frac {1}{F}}\sim \mathrm {F} (d_{2},d_{1})$.
• Распределение Фишера сходится к единице. Доказательство:
  если $F_{d_{1},d_{2}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})$, то $F_{d_{1},d_{2}}\to \delta (x-1)$ по распределению при $d_{1},d_{2}\to \infty$, где $\delta (x-1)$ — дельта-функция в единице, то есть распределение случайной величины-константы $X\equiv 1$.

Связь с другими распределениями

• Если $F_{d_{1},d_{2}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})$, то случайные величины $d_{1}F_{d_{1},d_{2}}$ сходятся по распределению к $\chi ^{2}(d_{1})$ при $d_{2}\to \infty$.

Ссылки

• Table of critical values of the F-distribution
• Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on F-distribution contains a brief history
• Free calculator for F-testing