Свободное произведение

О свободных материалах см. Свободный контент.

Свободным произведением групп называется группа, порождённая элементами этих двух групп, без каких-либо дополнительных соотношений.

Граф Кэли свободного произведения $\mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{3}$.

Свободное произведение $G_{1}$ и $G_{2}$ обычно обозначается $G_{1}*G_{2}$.

Определения

• Если группы заданы через порождающие и соотношения $G_{1}=\langle S_{1}|R_{1}\rangle$, $G_{2}=\langle S_{2}|R_{2}\rangle$ то

  $G_{1}*G_{2}=\langle S_{1}\cup S_{2}|R_{1}\cup R_{2}\rangle$

  • Это определение также допускает естественное обобщение на случай свободного произведения любого числа групп.

• Свободное произведение $G_{1}*G_{2}$ можно также определить как расслоенное копроизведение $G_{1}\amalg _{\{e\}}G_{2}$ для тривиальной группы $\{e\}$ в категории групп.

Примеры

• Свободное произведение $\mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{2}$ изоморфно бесконечной группе диэдра $D_{\infty }$.
• Свободное произведение $\mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{3}$ изоморфно проективной группе $PSL(2,\mathbb {Z} )$.
• Свободное произведение $n$ копий $\mathbb {Z}$ — свободная группа с $n$ образующими.
• Теорема Зейферта — ван Кампена в частности утверждает, что если $X$ — топологическое пространство, и $V,U\subset X$ — два связных открытых множества таких, что пересечение $W=V\cap U$ односвязно, и $X=V\cup U$, то фундаментальная группа $X$ есть свободное произведение фундаментальных групп $V$ и $U$; то есть

  $\pi _{1}X=\pi _{1}V*\pi _{1}U.$

Литература

• Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
• Курош А. Г. Теория групп. (3-е изд.). М.: Наука, 1967.
• Холл М. Теория групп. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.