Седенион

Седенио́н — элемент 16-мерной алгебры над полем вещественных чисел. Каждый седенион — это линейная комбинация элементов $1$, $e_{1}$, $e_{2}$, $e_{3}$, $e_{4}$, $e_{5}$, $e_{6}$, $e_{7}$, $e_{8}$, $e_{9}$, $e_{10}$, $e_{11}$, $e_{12}$, $e_{13}$, $e_{14}$ и $e_{15}$, которая формирует базис векторного пространства седенионов. (Аналогично комплексным числам, двумерной алгебре, где каждое число является комбинацией двух элементов и имеет вид: $a+bi$).

Визуализация расширения 4D в кубическом октонионном

Как и в случае октонионов, умножение седенионов не является ни коммутативным, ни ассоциативным. В отличие от октонионов, седенионы не обладают и свойством альтернативности. Тем не менее седенионы обладают свойством степенной ассоциативности. Кроме того, для седенионов не выполняется тождество восьми квадратов, имеющее место для октонионов, кватернионов, комплексных и вещественных чисел.

Есть единичный элемент, есть обратные элементы, но нет алгебры деления. Это происходит из-за того, что есть делители нуля, то есть существуют два ненулевых элемента, при перемножении которых получится нулевой результат: например, $(e_{3}+e_{10})\times (e_{6}-e_{15})$.

Множество седенионов обычно обозначается как $\mathbb {S}$.

Таблица умножения элементов:

×	1	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7	e8	e9	e10	e11	e12	e13	e14	e15
1	1	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7	e8	e9	e10	e11	e12	e13	e14	e15
e1	e1	−1	e3	−e2	e5	−e4	−e7	e6	e9	−e8	−e11	e10	−e13	e12	e15	−e14
e2	e2	−e3	−1	e1	e6	e7	−e4	−e5	e10	e11	−e8	−e9	−e14	−e15	e12	e13
e3	e3	e2	−e1	−1	e7	−e6	e5	−e4	e11	−e10	e9	−e8	−e15	e14	−e13	e12
e4	e4	−e5	−e6	−e7	−1	e1	e2	e3	e12	e13	e14	e15	−e8	−e9	−e10	−e11
e5	e5	e4	−e7	e6	−e1	−1	−e3	e2	e13	−e12	e15	−e14	e9	−e8	e11	−e10
e6	e6	e7	e4	−e5	−e2	e3	−1	−e1	e14	−e15	−e12	e13	e10	−e11	−e8	e9
e7	e7	−e6	e5	e4	−e3	−e2	e1	−1	e15	e14	−e13	−e12	e11	e10	−e9	−e8
e8	e8	−e9	−e10	−e11	−e12	−e13	−e14	−e15	−1	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7
e9	e9	e8	−e11	e10	−e13	e12	e15	−e14	−e1	−1	−e3	e2	−e5	e4	e7	−e6
e10	e10	e11	e8	−e9	−e14	−e15	e12	e13	−e2	e3	−1	−e1	−e6	−e7	e4	e5
e11	e11	−e10	e9	e8	−e15	e14	−e13	e12	−e3	−e2	e1	−1	−e7	e6	−e5	e4
e12	e12	e13	e14	e15	e8	−e9	−e10	−e11	−e4	e5	e6	e7	−1	−e1	−e2	−e3
e13	e13	−e12	e15	−e14	e9	e8	e11	−e10	−e5	−e4	e7	−e6	e1	−1	e3	−e2
e14	e14	−e15	−e12	e13	e10	−e11	e8	e9	−e6	−e7	−e4	e5	e2	−e3	−1	e1
e15	e15	e14	−e13	−e12	e11	e10	−e9	e8	−e7	e6	−e5	−e4	e3	e2	−e1	−1

Ссылки

• Ян Стюарт (Ian Stewart). Недостающее звено = The missing link… // New Scientist. — 2002. — Т. 176, вып. 2368. — С. 30.