Схема Эль-Гамаля

Схема Эль-Гамаля (Elgamal) — криптосистема с открытым ключом, основанная на трудности вычисления дискретных логарифмов в конечном поле. Криптосистема включает в себя алгоритм шифрования и алгоритм цифровой подписи. Схема Эль-Гамаля лежит в основе бывших стандартов электронной цифровой подписи в США (DSA) и России (ГОСТ Р 34.10-94).

Схема была предложена Тахером Эль-Гамалем в 1985 году. Эль-Гамаль разработал один из вариантов алгоритма Диффи-Хеллмана. Он усовершенствовал систему Диффи-Хеллмана и получил два алгоритма, которые использовались для шифрования и для обеспечения аутентификации. В отличие от RSA, алгоритм Эль-Гамаля не был запатентован и поэтому стал более дешёвой альтернативой, так как не требовалось оплаты взносов за лицензию. Считается, что алгоритм попадает под действие патента Диффи-Хеллмана.

Генерация ключей

1. Генерируется случайное простое число $p$.
2. Выбирается целое число $g$ — первообразный корень $p$.
3. Выбирается случайное целое число $x$ такое, что $(1<x<p-1)$.
4. Вычисляется $y=g^{x}{\bmod {p}}$.
5. Открытым ключом является $(y,g,p)$, закрытым ключом — число $x$.

Работа в режиме шифрования

Шифросистема Эль-Гамаля является фактически одним из способов выработки открытых ключей Диффи — Хеллмана. Шифрование по схеме Эль-Гамаля не следует путать с алгоритмом цифровой подписи по схеме Эль-Гамаля.

Шифрование

Сообщение $M$ должно быть меньше числа $p$. Сообщение шифруется следующим образом:

1. Выбирается сессионный ключ — случайное целое число, $k$ такое, что $1<k<p-1$.
2. Вычисляются числа $a=g^{k}{\bmod {p}}$ и $b=y^{k}M{\bmod {p}}$.
3. Пара чисел $(a,b)$ является шифротекстом.

Нетрудно заметить, что длина шифротекста в схеме Эль-Гамаля вдвое больше исходного сообщения $M$.

Расшифрование

Зная закрытый ключ $x$, исходное сообщение можно вычислить из шифротекста $(a,b)$ по формуле:

$M=b(a^{x})^{-1}{\bmod {p}}.$

При этом нетрудно проверить, что

$(a^{x})^{-1}=g^{-kx}{\bmod {p}}$

и поэтому

$b(a^{x})^{-1}=(y^{k}M)g^{-xk}\equiv (g^{xk}M)g^{-xk}\equiv M{\pmod {p}}$.

Для практических вычислений больше подходит следующая формула:

$M=b(a^{x})^{-1}=ba^{(p-1-x)}{\pmod {p}}$

Схема шифрования

Пример

• Шифрование
  1. Допустим, что нужно зашифровать сообщение $M=5$.
  2. Произведем генерацию ключей:
     1. Пусть $p=11,g=2$. Выберем $x=8$ — случайное целое число $x$ такое, что $1<x<p$.
     2. Вычислим $y=g^{x}{\bmod {p}}=2^{8}{\bmod {11}}=3$.
     3. Итак, открытым ключом является тройка $(p,g,y)=(11,2,3)$,а закрытым ключом — число $x=8$.
  3. Выбираем случайное целое число $k$ такое, что 1 < k < (p − 1). Пусть $k=9$.
  4. Вычисляем число $a=g^{k}{\bmod {p}}=2^{9}{\bmod {11}}=512{\bmod {11}}=6$.
  5. Вычисляем число $b=y^{k}M{\bmod {p}}=3^{9}5{\bmod {11}}=19683\cdot 5{\bmod {11}}=9$.
  6. Полученная пара $(a,b)=(6,9)$ является шифротекстом.
• Расшифрование
  1. Необходимо получить сообщение $M=5$ по известному шифротексту $(a,b)=(6,9)$ и закрытому ключу $x=8$.
  2. Вычисляем M по формуле: $M=b(a^{x})^{-1}{\bmod {p}}=9(6^{8})^{-1}\mod {11}=5$
  3. Получили исходное сообщение $M=5$.

Так как в схему Эль-Гамаля вводится случайная величина $k$,то шифр Эль-Гамаля можно назвать шифром многозначной замены. Из-за случайности выбора числа $k$ такую схему ещё называют схемой вероятностного шифрования. Вероятностный характер шифрования является преимуществом для схемы Эль-Гамаля, так как у схем вероятностного шифрования наблюдается большая стойкость по сравнению со схемами с определённым процессом шифрования. Недостатком схемы шифрования Эль-Гамаля является удвоение длины зашифрованного текста по сравнению с начальным текстом. Для схемы вероятностного шифрования само сообщение $M$ и ключ не определяют шифротекст однозначно. В схеме Эль-Гамаля необходимо использовать различные значения случайной величины $k$ для шифровки различных сообщений $M$ и $M'$. Если использовать одинаковые $k$, то для соответствующих шифротекстов $(a,b)$ и $(a',b')$ выполняется соотношение $b(b')^{-1}=M(M')^{-1}$. Из этого выражения можно легко вычислить $M'$, если известно $M$.

Работа в режиме подписи

Цифровая подпись служит для того чтобы можно было установить изменения данных и чтобы установить подлинность подписавшейся стороны. Получатель подписанного сообщения может использовать цифровую подпись для доказательства третьей стороне того, что подпись действительно сделана отправляющей стороной. При работе в режиме подписи предполагается наличие фиксированной хеш-функции $h(\cdot )$, значения которой лежат в интервале $\left(1,p-1\right)$.

Цифровая подпись по схеме Эль-Гамаля

Подпись сообщений

Для подписи сообщения $M$ выполняются следующие операции:

1. Вычисляется дайджест сообщения $M$: $m=h(M).$(Хеш функция может быть любая).
2. Выбирается случайное число $1<k<p-1$ взаимно простое с $p-1$ и вычисляется $r=g^{k}\,{\bmod {\,}}p.$
3. Вычисляется число $s\,=\,(m-xr)k^{-1}{\pmod {p-1}}$, где $k^{-1}$ это мультипликативное обратное $k$ по модулю $p-1$, которое можно найти, например, с помощью расширенного алгоритма Евклида.
4. Подписью сообщения $M$ является пара $\left(r,s\right)$.

Проверка подписи

Зная открытый ключ $\left(p,g,y\right)$, подпись $\left(r,s\right)$ сообщения $M$ проверяется следующим образом:

1. Проверяется выполнимость условий: $0<r<p$ и $0<s<p-1$.
2. Если хотя бы одно из них не выполняется, то подпись считается неверной.
3. Вычисляется дайджест $m=h(M).$
4. Подпись считается верной, если выполняется сравнение:

   $y^{r}r^{s}\equiv g^{m}{\pmod {p}}.$

Корректность проверки

Рассматриваемый алгоритм корректен в том смысле, что подпись, вычисленная по указанным выше правилам, будет принята при её проверке.

Преобразуя определение $s$, имеем

$m\,\equiv \,xr+sk{\pmod {p-1}}.$

Далее, из Малой теоремы Ферма следует, что

${\begin{aligned}g^{m}&\equiv g^{xr}g^{ks}\\&\equiv (g^{x})^{r}(g^{k})^{s}\\&\equiv (y)^{r}(r)^{s}{\pmod {p}}.\\\end{aligned}}$

Пример

• Подпись сообщения.
  1. Допустим, что нужно подписать сообщение $M=baaqab$.
  2. Произведем генерацию ключей:
     1. Пусть $p=23$ $g=5$ переменные, которые известны некоторому сообществу.
     2. Секретный ключ $x=7$ — случайное целое число $x$ такое, что $1<x<p$.
     3. Вычисляем открытый ключ $y$: $y=g^{x}{\bmod {p}}=5^{7}{\bmod {2}}3=17$.
     4. Итак, открытым ключом является тройка $(p,g,y)=(23,5,17)$.
  3. Теперь вычисляем хеш-функцию: $h(M)=h(baaqab)=m=3$.
  4. Выберем случайное целое число $k$ такое, что выполняется условие $1<k<p-1$. Пусть $k=5$.
  5. Вычисляем $r=g^{k}{\bmod {p}}=5^{5}{\bmod {2}}3=20$.
  6. Находим $k^{-1}$. Такое число существует, так как НОД$(k,p-1)=1$. Его можно найти с помощью расширенного алгоритма Евклида. Получим $k^{-1}=5^{-1}{\pmod {22}}=9$
  7. Находим число $s\,\equiv \,(m-xr)k^{-1}{\pmod {p-1}}$. Получим $s=21$, так как $s=\,(3-7\cdot 20)5^{-1}{\pmod {22}}=21$
  8. Итак, мы подписали сообщение: $<baaqab,20,21>$.

• Проверка подлинности полученного сообщения.
  1. Вычисляем хеш-функцию: $h(M)=h(baaqab)=m=3$.
  2. Проверяем сравнение $y^{r}\cdot r^{s}{\pmod {p}}\equiv g^{m}{\pmod {p}}$.
  3. Вычислим левую часть по модулю 23: $17^{20}\cdot 20^{21}{\bmod {2}}3=16\cdot 15{\bmod {2}}3=10$.
  4. Вычислим правую часть по модулю 23: $5^{3}{\bmod {2}}3=10$.
  5. Так как правая и левая части равны, то это означает что подпись верна.

---

Главным преимуществом схемы цифровой подписи Эль-Гамаля является возможность вырабатывать цифровые подписи для большого числа сообщений с использованием только одного секретного ключа. Чтобы злоумышленнику подделать подпись, ему нужно решить сложные математические задачи с нахождением логарифма в поле $\mathbb {Z} _{p}$. Следует сделать несколько комментариев:

• Случайное число $k$ должно сразу после вычисления подписи уничтожаться, так как если злоумышленник знает случайное число $k$ и саму подпись, то он легко может найти секретный ключ по формуле: $x=(m-ks)r^{-1}{\bmod {(}}p-1)$ и полностью подделать подпись.

Число $k$ должно быть случайным и не должно дублироваться для различных подписей, полученных при одинаковом значении секретного ключа.

• Использование свертки $m=h(M)$ объясняется тем, что это защищает подпись от перебора сообщений по известным злоумышленнику значениям подписи. Пример: если выбрать случайные числа $i,j$,удовлетворяющие условиям $0<i<{p-1},0<j<{p-1}$, НОД(j, p-1)=1 и предположить что

  $r=g^{i}\cdot y^{-j}{\bmod {p}}$

  $s=r\cdot j^{-1}{\bmod {(}}p-1)$

  $m=r\cdot i\cdot j^{-1}{\bmod {(}}p-1)$

то легко удостовериться в том, что пара $(r,s)$ является верной цифровой подписью для сообщения $x=M$.

• Цифровая подпись Эль-Гамаля стала примером построения других подписей, схожих по своим свойствам. В их основе лежит выполнение сравнения: $y^{A}\cdot r^{B}=g^{C}(modp)$, в котором тройка $(A,B,C)$ принимает значения одной из перестановок ±r, ±s и ±m при каком-то выборе знаков. Например, исходная схема Эль-Гамаля получается при $A=r$, $B=s$, $C=m$.На таком принципе построения подписи сделаны стандарты цифровой подписи США и России. В американском стандарте DSS (Digital Signature Standard), используется значения $A=r$, $B=-s$, $C=m$, а в Российском стандарте: $A=-x$, $B=-m$, $C=s$.
• Ещё одним из преимуществ является возможность уменьшения длины подписи с помощью замены пары чисел $(s,m)$ на пару чисел $(s{\bmod {q}},m{\bmod {q}}$), где $q$ является каким-то простым делителем числа $(p-1)$. При этом сравнение для проверки подписи по модулю $p$ нужно заменить на новое сравнение по модулю $q$: $(~y^{A}\cdot r^{B}){\bmod {p}}=g^{C}{\pmod {q}}$. Так сделано в американском стандарте DSS (Digital Signature Standard).

Криптостойкость и особенности

В настоящее время криптосистемы с открытым ключом считаются наиболее перспективными. К ним относится и схема Эль-Гамаля, криптостойкость которой основана на вычислительной сложности проблемы дискретного логарифмирования, где по известным p, g и y требуется вычислить x, удовлетворяющий сравнению:

$y\equiv g^{x}{\pmod {p}}.$

ГОСТ Р34.10-1994, принятый в 1994 году в Российской Федерации, регламентировавший процедуры формирования и проверки электронной цифровой подписи, был основан на схеме Эль-Гамаля. С 2001 года используется новый ГОСТ Р 34.10-2001, использующий арифметику эллиптических кривых, определённых над простыми полями Галуа. Существует большое количество алгоритмов, основанных на схеме Эль-Гамаля: это алгоритмы DSA, ECDSA, KCDSA, схема Шнорра.

Сравнение некоторых алгоритмов:

Алгоритм	Ключ	Назначение	Криптостойкость, MIPS	Примечания
RSA	До 4096 бит	Шифрование и подпись	2,7•1028 для ключа 1300 бит	Основан на трудности задачи факторизации больших чисел; один из первых асимметричных алгоритмов. Включен во многие стандарты
ElGamal	До 4096 бит	Шифрование и подпись	При одинаковой длине ключа криптостойкость равная RSA, т.е. 2,7•1028 для ключа 1300 бит	Основан на трудной задаче вычисления дискретных логарифмов в конечном поле; позволяет быстро генерировать ключи без снижения стойкости. Используется в алгоритме цифровой подписи DSA-стандарта DSS
DSA	До 1024 бит	Только подпись		Основан на трудности задачи дискретного логарифмирования в конечном поле; принят в качестве гос. стандарта США; применяется для секретных и несекретных коммуникаций; разработчиком является АНБ.
ECDSA	До 4096 бит	Шифрование и подпись	Криптостойкость и скорость работы выше, чем у RSA	Современное направление. Разрабатывается многими ведущими математиками

Литература

• Elgamal T. A Public-Key Cryptosystem and a Signature Scheme Based on Discrete Logarithms, A Public Key Cryptosystem and a Signature Scheme Based on Discrete Logarithms (англ.) // IEEE Transactions on Information Theory / F. Kschischang — IEEE, 1985. — P. 10—18. — ISSN 0018-9448; 1557-9654 — doi:10.1109/TIT.1985.1057074; doi:10.1007/3-540-39568-7_2
• Алфёров А.П., Зубов А.Ю., Кузьмин А.С., Черемушкин А.В. Основы криптографии.^{[уточнить]}
• Б. А. Фороузан. Схема цифровой подписи Эль-Гамаля // Управление ключами шифрования и безопасность сети / Пер. А. Н. Берлин. — Курс лекций.
• Menezes A. J., Oorschot P. v., Vanstone S. A. 11.5.2 The ElGamal signature scheme // Handbook of Applied Cryptography (англ.) — CRC Press, 1996. — 816 p. — (Discrete Mathematics and Its Applications) — ISBN 978-0-8493-8523-0