Сходи́мость по ме́ре (по вероя́тности) в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — это вид сходимости измеримых функций (случайных величин), заданных на пространстве с мерой (вероятностном пространстве).

Определение править

Пусть   — пространство с мерой. Пусть   — измеримые функции на этом пространстве. Говорят, что последовательность функций   сходится по мере к функции  , если

 .

Обозначение:  .

В терминах теории вероятностей, если дано вероятностное пространство   с определёнными на нём случайными величинами  , то говорят, что   сходится по вероятности к  , если

 .

Обозначение:  .

Замечание править

Определение сходимости по мере (по вероятности) может быть обобщено для отображений (случайных элементов), принимающих значения в произвольном метрическом пространстве.

Свойства сходимости по мере править

  • Теорема (Рисс Ф.): Если последовательность функций   сходится по мере к  , то у неё существует подпоследовательность  , сходящаяся к    -почти всюду.
  • Теорема (критерий сходимости по мере): Если мера конечна, то последовательность функций   сходится по мере к   тогда и только тогда, когда для любой подпоследовательности последовательности   существует подпоследовательность, которая сходится к   почти всюду.
  • Если последовательность функций   сходится по мере к  , и  , где  , то  , и   сходится к   в  .
  • Если в пространстве с конечной мерой последовательность функций   сходится  -почти всюду к  , то она сходится и по мере. Обратное, вообще говоря, неверно.
  • Если последовательность функций   сходится в   к  , то она сходится и по мере. Обратное, вообще говоря, неверно.
  • Если последовательность случайных величин   сходится по вероятности к  , то она сходится к   и по распределению.
  • Если последовательность случайных величин   сходится по вероятности к  , то для любой непрерывной функции   верно, что  . Это утверждение верно для любой непрерывной функции многих переменных, в частности