Теорема Вивиани

Теорема Вивиани — утверждение в геометрии треугольника, согласно которому сумма расстояний от произвольной точки внутри равностороннего треугольника до его сторон постоянна и равна высоте треугольника. Названа по имени итальянского математика Винченцо Вивиани.

Сумма длин отрезков $l+m+n$ равна высоте равностороннего треугольника.

В части постоянства суммы расстояний от произвольной внутренней точки до сторон утверждение может быть обобщено на равносторонние многоугольники и многоугольники с равными углами.

Доказательство

Теорема может быть доказана путём сравнения площадей треугольников. Пусть $\triangle ABC$ — равносторонний треугольник, в котором $h$ — высота, $s$ — длина каждой из сторон. Точка $P$ выбирается произвольно внутри треугольника, и тогда $l$, $m$, $n$ — расстояния от точки $P$ до сторон треугольника. Тогда площадь $\triangle ABC$ можно определить следующим образом:

$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ACP}+S_{\triangle BCP}$,

из чего вытекают следующие соотношения:

${\frac {sh}{2}}={\frac {sl}{2}}+{\frac {sm}{2}}+{\frac {sn}{2}}$,

то есть:

$h=\ell +m+n$.

Приложения

Треугольник взрываемости тройной смеси метан-кислород-азот. Синяя прямая соответствует смесям метана с воздухом, красная линия отвечает стехиометрическому составу.
ВПВ — верхний предел взрываемости;
НПВ — нижний предел взрываемости;
ПК — пороговая концентрация взрываемости.

Теорема Вивиани позволяет получать координаты точек на трёхкомпонентные диаграммы путём проведения линий, параллельных сторонам равностороннего треугольника. В частности, таким образом можно строить диаграммы воспламеняемости.

В более общем случае, они позволяют таким же образом задавать координаты на правильном симплексе.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Viviani's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Li Zhou, Viviani Polytopes and Fermat Points
• Viviani’s Theorem: What is it? at Cut the knot.
• Viviani’s Theorem by Jay Warendorff, the Wolfram Demonstrations Project.
• Viviani's theorem: Visualization + Proof на YouTube