Теорема Витта

Не следует путать с теоремой Виета.

Теорема Витта — теорема о свойствах конечномерных ортогональных пространств над полями произвольного вида. Она утверждает, что любая изометрия между двумя подпространствами конечномерного ортогонального векторного пространства может быть продолжена на все пространство.

Формулировка

Пусть $L$ — невырожденное конечномерное ортогональное векторное пространство (пространство с невырожденной симметричной или кососимметричной билинейной формой), $L^{\prime },L''\subset L$ — два его изометричных подпространства. Тогда любая изометрия $I^{\prime }:L^{\prime }\rightarrow L''$ может быть продолжена до изометрии $I:L\rightarrow L$; то есть, сужение $I$ на $L^{\prime }$ совпадает с $I^{\prime }$.

Следствия

• Теорема о сокращении: Предположим $h$ не вырожденная квадратичная форма и форма $h\oplus g_{1}$ эквивалентна форме $h\oplus g_{2}$ над полем характеристики не равной 2. Тогда форма $g_{1}$ эквивалентна форме $g_{2}$ над этим полем.

Литература

• Конвей Дж. Квадратичные формы, данные нам в ощущениях. — М.: МЦНМО, 2008. — 144 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-268-8.
• А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия. — Санкт-Петербург: Лань, 2008. — С. 304. — ISBN 978-5-8114-0612-8.