Теорема Гильберта о нулях

Теоре́ма Ги́льберта о нуля́х (теорема Гильберта о корнях, во многих языках, в том числе иногда и в русском, часто используют изначальное немецкое название Nullstellensatz, что переводится как «теорема о нулях») — теорема, устанавливающая фундаментальную взаимосвязь между геометрией и алгеброй. Использование этой взаимосвязи является основой алгебраической геометрии.

Данная теорема связывает понятие алгебраического множества с понятием идеала в кольце многочленов над алгебраически замкнутым полем. Впервые доказана Давидом Гильбертом (Math. Ann. 1893, Bd 42, S. 313—373) и названа в его честь.

Формулировка

Пусть $k$ — произвольное поле (например, поле рациональных чисел), $K$ — алгебраически замкнутое расширение этого поля (например, поле комплексных чисел). Рассмотрим $K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ — кольцо многочленов от $n$ переменных с коэффициентами в поле $K$, пусть $I$ — идеал в этом кольце. Алгебраическое множество ${\hbox{V}}(I)$, определяемое этим идеалом, состоит из всех точек $x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in K^{n}$ таких, что $f(x)=0$ для любого $f\in I$. Теорема Гильберта о нулях утверждает, что если некоторый многочлен $p\in k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ зануляется на множестве ${\hbox{V}}(I)$, то есть если $p(x)=0$ для всех $x\in V(I)$, то существует натуральное число $r$ такое, что $p^{r}\in I$.

Немедленным следствием является следующая «слабая форма теоремы Гильберта о нулях»: если $I$ является собственным идеалом в кольце $K[x_{1},\dots ,x_{n}]$, то ${\hbox{V}}(I)$ не может быть пустым множеством, то есть существует общий нуль для всех многочленов данного идеала (действительно, в противном случае многочлен $p(x)=1$ имеет корни всюду на ${\hbox{V}}(I)$, следовательно, его степень принадлежит $I$). Это обстоятельство и дало имя теореме. Общий случай может быть выведен из «слабой формы» при помощи так называемого трюка Рабиновича. Предположение о том, что поле $K$ является алгебраически замкнутым, существенно: элементы собственного идеала $(x^{2}+1)$ в $\mathbb {R} [x]$ не имеют общего нуля.

Используя стандартную терминологию коммутативной алгебры, теорему Гильберта о нулях можно сформулировать так: для каждого идеала $J$ справедлива формула

${\hbox{I}}({\hbox{V}}(J))={\sqrt {J}}$

где ${\sqrt {J}}$ — радикал идеала $J$, а ${\hbox{I}}(U)$ — идеал, состоящий из всех многочленов, равных нулю на множестве $U$.

Из этого следует, что операции ${\hbox{I}}$ и ${\hbox{V}}$ задают биективное, обращающее порядок по включению соответствие между алгебраическими множествами в $K^{n}$ и радикальными идеалами в $K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$.

Проективная версия Nullstellensatz

Существует также соответствие между однородными идеалами в кольце многочленов и алгебраическими множествами в проективном пространстве, называемое проективной Nullstellensatz. Пусть $R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]$, $R_{d}$ — множество однородных многочленов степени $d$. Тогда

$R_{+}=\bigoplus _{d\geq 1}R_{d}$

называется максимальным однородным идеалом. Как и в аффинном случае, введём обозначения: для подмножества $S\subseteq \mathbb {P} ^{n}$ и однородного идеала $I$ пусть

${\begin{aligned}\operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)&=\{f\in R_{+}|f(x)=0\;\forall x\in S\},\\\operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I)&=\{x\in \mathbb {P} ^{n}|f(x)=0\;\forall f\in I\}.\end{aligned}}$

Напомним, что $f$ не является функцией на проективном пространстве, однако из однородности этого многочлена следует, что множество точек с однородными координатами $x$, в которых $f(x)=0$, определено корректно. Теперь, для произвольного однородного идеала $I\in R_{+}$ верно

${\sqrt {I}}=\operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(\operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I)).$

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М: Мир, 1972
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1976.
• Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 1999. ISBN 5-900916-32-4.
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1970
• Ленг С. Алгебра. — М. : Мир, 1968