Теорема Егорова

Теоре́ма Его́рова утверждает, что последовательность измеримых функций, сходящаяся почти всюду на некотором множестве, сходится равномерно на достаточно большом его подмножестве.

Формулировка

Пусть дано пространство с конечной мерой $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ так, что $\mu (X)<\infty$, и определённая на нём последовательность измеримых функций $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$, сходящаяся почти всюду к $f$. Тогда для любого $\varepsilon >0$ существует множество $X_{\varepsilon }\subset X$ такое, что $\mu (X\setminus X_{\varepsilon })<\varepsilon$, и последовательность $\{f_{n}\}$ равномерно сходится к $f$ на $X_{\varepsilon }$.

Замечания

• Сходимость, выводимую теоремой, часто называют почти равномерной сходимостью.
• Конечность $\mu (X)$ принципиальна. Пусть, например, $(X,{\mathcal {F}},\mu )=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),m)$, где ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ — борелева σ-алгебра на $\mathbb {R}$, а $m$ — мера Лебега. Заметим, что $m(\mathbb {R} )=\infty$. Пусть $f_{n}(x)=\mathbf {1} _{[n,n+1]}(x),\;x\in \mathbb {R} ,n\in \mathbb {N}$, где $\mathbf {1} _{A}$ обозначает индикатор-функцию множества $A$. Тогда $\{f_{n}\}$ сходится к нулю поточечно, но не сходится равномерно ни на каком дополнении к множеству конечной меры.

Вариации и обобщения

• Теорема Егорова естественно обобщается на случай функций со значением в Банаховом пространстве.

• Теорема Лузина

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.

• Dmitri Egoroff, Sur les suites des fonctions measurables. C.R. Acad. Sci. Paris,(1911) 152:135–157.
• Богачев В. И., К истории открытия теорем Егорова и Лузина, Историко-математические исследования, вып. 48 (13), 2009.