Теорема Жордана — классическая теорема топологии, гласящая, что замкнутая плоская кривая без самопересечений делит плоскость на две различные части: «внутреннюю» и «внешнюю».

Простая замкнутая кривая (чёрного цвета) делит плоскость на внутреннюю часть (голубого цвета) и внешнюю часть (розового цвета)
Не всегда интуитивно очевидно, находится ли точка во внутренней части кривой

Теорема Жордана известна контрастом между простотой её формулировки и сложностью доказательства. Такой контраст в первую очередь связан с существованием «диких» кривых, таких как замкнутые кривые Осгуда. В случае кривых специального вида, таких как ломаные, утверждение доказывается относительно просто[1].

Замкнутые кривые, удовлетворяющие условию теоремы Жордана, называются жордановыми.

История править

Теорема была сформулирована и доказана Камилем Жорданом в 1887 году.

Некоторые авторы утверждают, что доказательство Жордана не было вполне исчерпывающим, а первое полное доказательство было дано Освальдом Вебленом в 1905 году[2]. Однако Томас Хейлс[en] пишет, что доказательство Жордана не содержит ошибок, и единственная возможная претензия по отношению к этому доказательству состоит в том, что Жордан предполагает известным утверждение теоремы в случае ломаных[3].

Формулировка править

Любая замкнутая кривая Жордана   на плоскости   разбивает её на две компоненты и является их общей границей[4].

Замечания править

Из двух таких компонент ровно одна является ограниченной. Ограниченная компонента называется внутренней частью кривой  , а неограниченная — внешней.

Данные компоненты можно охарактеризовать в терминах порядка точки относительно кривой. А именно, множество точек плоскости, порядок которых относительно кривой   равен   или  , совпадает с её внутренней частью, а множество точек, порядок которых равен  , совпадает с внешней часть.

Согласно, теореме Шёнфлиса, внутренняя часть кривой   гомеоморфна кругу[4].

О доказательствах править

Известно несколько простых доказательств теоремы Жордана.

Вариации и обобщения править

  • Теорема Жордана обобщается по размерности:
Любое  -мерное подмногообразие в  , гомеоморфное сфере, разбивает пространство на две связные компоненты и является их общей границей.
При   это доказано Лебегом, в общем случае — Брауэром, отчего  -мерная теорема Жордана иногда называется теоремой Жордана — Брауэра.[4]
  • Теорема Шёнфлиса утверждает, что существует гомеоморфизм плоскости в себя, переводящий данную Жорданову кривую в окружность.
    • В частности ограниченная компонента в теореме Жордана гомеоморфна единичному диску, а неограниченная компонента гомеоморфна внешности единичного диска.
    • Пример дикой сферы показывает, что аналогичное утверждение не верно в старших размерностях.

См. также править

Примечания править

  1. Болтянский, 1982, Теорема Жордана.
  2. Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика? — М.: МЦНМО, 2010, — С. 270—271.
  3. Hales, Thomas. Jordan's proof of the Jordan Curve theorem (англ.) // Studies in Logic, Grammar and Rhetoric. — 2007. — Vol. 10, no. 23. — P. 45—60.
  4. 1 2 3 И. М. Виноградов. Жордана теорема // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. — 1977—1985.
  5. А. Ф. Филиппов. Элементарное доказательство теоремы Жордана // УМН. — 1950. — Т. 5, № 5(39). — С. 173—176. Архивировано 24 декабря 2013 года.
  6. P. H. Doyle. «Plane separation». Proc. Cambridge Philos. Soc. 64 (1968), p. 291.

Литература править