Теорема Каратеодори о продолжении меры

В теории меры теорема Каратеодори утверждает, что произвольная счётно-аддитивная мера на некотором кольце подмножеств множества может быть продолжена на σ-кольцо, порождённое кольцом . В случае σ-конечности меры такое продолжение является единственным. Из теоремы, в частности, вытекает существование и единственность меры Бореля и меры Лебега.

Утверждение править

Пусть   — кольцо подмножеств множества   с мерой  , а   — σ-кольцо, порождённое  . Теорема Каратеодори утверждает, что существует мера  , являющаяся продолжением меры  , то есть,  . Кроме того, если мера   σ-конечна, то такое продолжение   единственно и также σ-конечно.

Полукольцо править

В более общем виде такое продолжение существует для меры, заданной на полукольце, то есть семействе подмножеств  , удовлетворяющих следующим условиям:

  •  ;
  • для любых   пересечение  ;
  • для любых   существуют такие попарно непересекающиеся множества  , где  , что  .

Однако этот случай легко сводится к предыдущему, поскольку каждое полукольцо   порождает кольцо  , элементами которого являются всевозможные конечные дизъюнктные объединения множеств из  :

 ,

а мера  , заданная на полукольце, продолжается на всё кольцо:

  , где  ,  .

Построение продолжения править

Пусть   — мера, определённая на кольце   подмножеств множества  . Тогда на подмножествах   можно определить функцию

 

Эта функция является внешней мерой, порождённой мерой  . Обозначим через   семейство подмножеств   множества  , таких что для всех   выполняется  .

Тогда   является σ-кольцом, и на нём можно определить меру   для всех  . Определённая таким образом функция является мерой, которая совпадает с   на множествах кольца  . Также   содержит σ-алгебру   и сужение   на элементы   и будет необходимым расширением меры.

σ-кольцо   является пополнением кольца  , соответственно, они совпадают, если определённая мера на   является полной.

Примеры править

  • Если на действительной прямой взять полукольцо   интервалов  , где   и мера   равна  , то представленная конструкция дает определение меры Бореля на борелевских множествах  . Множеству   здесь соответствует множество измеримых по Лебегу множеств.
  • Условие σ-конечности является необходимым для единственности продолжения. Например, на множестве   всех рациональных чисел промежутка   можно задать полукольцо промежутков с рациональными концами  , где   — рациональные числа из промежутка  . σ-кольцо, порождённое этим полукольцом, является множеством всех подмножеств  . Пусть теперь   равно количеству элементов  , а  . Тогда обе меры совпадают на полукольце и порождённом кольце (поскольку все непустые множества полукольца и кольца являются бесконечными, то обе меры на всех этих множествах равны  ), но не совпадают на порождённом σ-кольце. То есть в данном случае продолжение не является единственным.

Литература править

  • Халмош П. Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953
  • Дороговцев А. Я. Элементы общей теории меры и интеграла. Киев, 1989