Теорема Пеано

Теорема Пеано (иногда теорема Коши — Пеано) — теорема о существовании решения обыкновенного дифференциального уравнения, которая утверждает, что

Пусть функция $f(t,x)$ непрерывна по совокупности переменных в некоторой области $|t-t_{0}|\leqslant a,|x-x_{0}|\leqslant b$ и $\beta$ — максимум $|f(t,x)|$ в этой области. Если $h=\min(a,{\frac {b}{\beta }})$, то на отрезке $[t_{0}-h,t_{0}+h]$ существует по крайней мере одно решение уравнения ${\frac {dx}{dt}}=f(t,x)$, удовлетворяющее начальному условию $x(t_{0})=x_{0}$.

Доказательство

Уравнение ${\frac {dx}{dt}}=f(t,x)$ с начальным условием $x(t_{0})=x_{0}$ эквивалентно интегральному уравнению $x(t)=x_{0}+\int \limits _{t_{0}}^{t}f(\tau ,x(\tau ))d\tau$.

Рассмотрим оператор A, определенный равенством $A(x)\equiv x_{0}+\int \limits _{t_{0}}^{t}f(\tau ,x(\tau ))d\tau$ в пространстве $C[t_{0}-h,t_{0}+h]$ на шаре $S_{b}:||x-x_{0}||\leqslant b$, который будет замкнутым выпуклым множеством в этом пространстве.

Оператор A вполне непрерывен на этом шаре. Если последовательность ${\mathcal {f}}x_{n}(t){\mathcal {g}}$, принадлежащая шару $|x-x_{0}|\leqslant b$, равномерно сходится к функции $x(t)\in S_{b}$, то в силу непрерывности функции $f(t,x)$ имеем, что $f(t,x_{n}(t))\rightarrow f(t,x(t))$ равномерно на $[t_{0}-h,t_{0}+h]$. При равномерной сходимости законен предельный переход под знаком интеграла, так что $Ax_{n}\rightarrow Ax$, то есть оператор A непрерывен на шаре $S_{b}$.

Для любого элемента $x(t)\in S_{b}$ выполняется неравенство $|Ax(t)|\leqslant |x_{0}|+|\int \limits _{t_{0}}^{t}f(\tau ,x(\tau ))d\tau \leqslant |x_{0}|+\beta |h|$, то есть множество значений оператора $A$ ограничено.

Если $t_{1}$ и $t_{2}$ — любые точки отрезка $[t_{0}-h,t_{0}+h]$, то для любой функции $x(t)\in S_{b}$ будем иметь $|Ax(t_{2})-Ax(t_{1})|\leqslant |\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}f(\tau ,x(\tau ))d\tau |\leqslant \beta |t_{2}-t_{1}|$, то есть множество значений оператора $A$ равностепенно непрерывно.

В силу теоремы Арцела отсюда заключаем, что оператор $A$ преобразует шар $S_{b}:||x-x_{0}||\leqslant b$ в компактное множество.

Это доказывает полную непрерывность оператора $A$.

Оператор $A$ преобразует шар $S_{b}:||x-x_{0}||\leqslant b$ в себя. Действительно, $|Ax(t)-x_{0})|\leqslant |\int \limits _{t_{0}}^{t}f(\tau ,x(\tau ))d\tau |\leqslant \beta h\leqslant \beta {\frac {b}{\beta }}=b$.

Таким образом, оператор $A$ удовлетворяет всем условиям теоремы Шаудера. Существует неподвижная точка этого оператора, то есть такая функция ${\tilde {x}}(t)$, что ${\tilde {x}}(t)\equiv x_{0}+\int \limits _{t_{0}}^{t}f(\tau ,{\tilde {x}}(\tau ))d\tau$.

Эта функция ${\tilde {x}}(t)$ будет решением уравнения ${\frac {dx}{dt}}=f(t,x)$, удовлетворяющим начальному условию $x(t_{0})=x_{0}$.

См. также

• Теорема существования и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения
• Теорема Осгуда о единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения

Литература

• Краснов М.Л. Интегральные уравнения, М., Наука, 1975.