Теорема Коши (теория групп)

Если порядок конечной группы $G$ делится на простое число $p$ , то $G$ содержит элементы порядка $p$ .

Она тесно связана с теоремой Лагранжа, в силу которой порядок любой конечной группы G делится на порядок любой её подгруппы. В силу теоремы Коши для любого простого делителя p порядка группы G, существует подгруппа, чей порядок равен p. Ей является циклическая группа, порождённая элементом из теоремы Коши.

Обобщением теоремы Коши является первая теорема Силова, в соответствии с которой, если pⁿ является максимальной степенью p, на которую делится порядок группы G, то G имеет подгруппу именно такого порядка. Используя тот факт, что группа порядка pⁿ разрешима, можно показать, что G содержит подгруппы любого порядка p^r, для которого $r\leq n.$

Доказательство править

Эту теорему часто доказывают с помощью индукции и применения классов сопряжённости, но для абелевых групп аналогичное утверждение доказать намного проще. В доказательстве также может применяться действие группы.^[1]

Вариант 1 править

Сначала докажем эту теорему в частном случае, когда группа G абелева, затем в общем случае. Оба раза теорема будет доказана индукцией по n = |G|, начиная с n = p. База тривиальна, так как любой нетождественный элемент имеет порядок p.

Если G абелева, то рассмотрим любой нетождественный элемент a и порождённую им циклическую подгруппу H. Если p делит |H|, то a^|H|/p является искомым элементом порядка p. Иначе p делит не порядок |H|, а порядок [G:H] факторгруппы G/H. Тогда по индуктивному предположению факторгруппа содержит элемент порядка p. Им является один из классов xH, где x лежит в G. Если он имеет порядок m в группе G, то $m\vdots p$ : благодаря тому, что в группе G x^m = e, (xH)^m = eH в факторгруппе G/H. Поэтому p делит m; аналогично x^m/p окажется элементом порядка p в группе G, что заканчивает доказательство в абелевом случае.

В общем случае пусть группа Z является центром группы G. Тогда Z окажется абелевой. Если её порядок кратен p,то она, как мы уже видели, содержит элемент порядка p. Значит, этот элемент имеет порядок p и в группе G. Иначе p не делит Z. Так как p делит |G|, а G разбивается на Z и остальные классы сопряжённости, один из этих классов содержит элемент a, размер чьего класса не делится на p. Но легко показать, что его размер равен [G : C_G(a)] и не кратен p. Поэтому p делит порядок не совпадающего с группой G централизатора C_G(a) элемента a в группе G. Но по индуктивному предположению в централизаторе лежит искомый элемент порядка p, что и требовалось доказать.

Вариант 2 править

В этом варианте мы воспользуемся тем фактом, что действие циклической группы простого порядка p порождает только орбиты размеров 1 и p, что сразу следует из теоремы о стабилизаторах орбит.

Подействуем нашей группой на множество решений уравнения

X=\{\,(x_{1},\ldots ,x_{p})\in G^{p}:x_{1}x_{2}\cdots x_{p}=e\,\}

т.е. на множество последовательностей из p элементов группы G, чьё произведение равно 1. Такая последовательность однозначно задаётся всеми элементами, кроме последнего, который обратен произведению остальных. Также понятно, что эти p − 1 элементов можно выбирать произвольным способом, и в множестве X имеется |G|^p−1 элементов, и их количество кратно p.

Теперь заметим, что в группе ab = e, если и только если ba = e. Поэтому, если $x_{1}x_{2}\cdots x_{p}=e$ , то $x_{2}\cdots x_{p}x_{1}=e$ . Значит, циклические перестановки компонентов элемента множества X снова породят элементы X. Это позволяет задать действие циклической группы C_p порядка p на множестве X с помощью перестановки компонентов. Иными словами, порождающий группу C_p элемент переводит

(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{p})\mapsto (x_{2},\ldots ,x_{p},x_{1})

.

Очевидно, при таком действии орбиты в X имеют размеры 1 или p. Орбита имеет размер 1, если и только если её единственный элемент имеет вид $(x,x,\ldots ,x)$ и $x^{p}=e$ . Так как количество элементов X равно сумме количеств элементов в орбитах, количество элементов $x$ , для которых $x^{p}=e$ , кратно p. Так как одним из них является единичный элемент, всего существует хотя бы $p$ элементов, хотя бы p − 1 из которых не равен единичному, а имеет порядок p. Теорема доказана.

Применения править

Теорема Коши позволяет сразу установить то, какие группы могут быть конечными р-группами, где p — простое число. Именно, конечная группа G является p-группой (т.е. порядки всех элементов — точные степени p), если и только если порядок группы сам является степенью p. Хотя абелев случай также можно применить, чтобы доказать по индукции первую теорему Силова, ^[2] так же, как в первом доказательстве, существуют и доказательства, в которых этот случай разбирается отдельно.

Пример править

Абелева простая группа может быть только циклической простого порядка. Действительно, в любой такой группе G все её подгруппы нормальны. Значит, если она проста, то все её нормальные подгруппы — либо единичная, либо она сама. если |G| = 1, то G сама является единичной. Иначе в ней есть неединичный элемент a ∈ G, и циклическая группа $\langle a\rangle$ является неединичной подгруппой G. Значит, $G=\langle a\rangle .$ Пусть теперь порядок группы $\langle a\rangle$ равен n. Если он бесконечен, то

G=\langle a\rangle \supsetneqq \langle a^{2}\rangle \supsetneqq \{e\},

что невозможно.

Значит, n конечно. Если n составное, то оно кратно простому q, меньшему n. Но тогда существует подгруппа H порядка q, что противоречит условию. Значит, n просто.

Литература править

Cauchy, Augustin-Louis (1845), "Mémoire sur les arrangements que l'on peut former avec des lettres données, et sur les permutations ou substitutions à l'aide desquelles on passe d'un arrangement à un autre", Exercises d'analyse et de physique mathématique, Paris, 3: 151–252
Cauchy, Augustin-Louis (1932), Oeuvres complètes (PDF), second series, vol. 13 (reprinted ed.), Paris: Gauthier-Villars, pp. 171—282
Jacobson, Nathan (2009) [1985], Basic Algebra, Dover Books on Mathematics, vol. I (Second ed.), Dover Publications, p. 80, ISBN 978-0-486-47189-1
McKay, James H. (1959), "Another proof of Cauchy's group theorem", American Mathematical Monthly, 66: 119, doi:10.2307/2310010, MR 0098777, Zbl 0082.02601

[_5a9b2814cbdcc660-1] McKay, 1959.

[_afa354799f7ecd07-2] Jacobson, 2009, p. 80.

[1]

[2]