Теорема Кронекера — Капелли

Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы.

Для того чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу её основной матрицы. Была доказана независимо друг от друга Леопо́льдом Кро́некером и Альфре́до Капе́лли.

Название теоремы

В России это теорема Кронекера — Капелли, в Италии и англоязычных странах — теорема Руше — Капелли, в Испании и странах Латинской Америки — теорема Руше — Фробениуса.

Пояснения

Система уравнений $Ax=B$ разрешима тогда и только тогда, когда $\operatorname {rang} A=\operatorname {rang} (A|B)$, где $(A|B)$ — расширенная матрица, полученная из матрицы $A$ приписыванием столбца $B$.

Доказательство (условия совместности системы)

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа $x_{1},\dots ,x_{n}\in \mathbb {R}$ такие, что $b=x_{1}a_{1}+\dots +x_{n}a_{n}$. Следовательно, столбец $b$ является линейной комбинацией столбцов $a_{1},\dots ,a_{n}$ матрицы $A$. Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы её строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что $\operatorname {rang} A=\operatorname {rang} A|B$.

Достаточность

Пусть $\operatorname {rang} A=\operatorname {rang} A|B=r$. Возьмём в матрице $A$ какой-нибудь базисный минор. Так как $\operatorname {rang} A|B=r$, то он же будет базисным минором и матрицы $A|B$. Тогда, согласно теореме о базисном миноре, последний столбец матрицы $A|B$ будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы $A$. Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы $A$.

Следствия

• Количество главных переменных системы равно рангу системы.
• Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

См. также

• Матрица (математика)
• Кро́некер, Леопо́льд
• Капе́лли, Альфре́до

Литература

• В. А. Ильин, Г. Д. Ким Линейная алгебра и аналитическая геометрия, М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007, 400с.
• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.