Теорема Монтеля о компактном семействе функций

Теорема Монтеля об условиях компактности семейства голоморфных функций или принцип компактности:

Пусть $\{f_{\alpha }(z)\}$ ― бесконечное семейство голоморфных функций в области $D$ комплексной плоскости $z$; тогда для того чтобы это семейство было предкомпактным, то есть чтобы из любой последовательности $f_{\alpha _{i}}$ можно было выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся локально внутри $D$, необходимо и достаточно, чтобы семейство было равномерно ограничено локально внутри $D$.

Теорема Монтеля обобщается на области $D$ в пространстве $\mathbb {C} ^{n}$, $n>1$.

Теорема Монтеля есть следствие теоремы Арцела-Асколи, оценок на производные аналитической функции (неравенства Коши) и сепарабельности всякой области в $\mathbb {C} ^{n}$.

Следствия

• Следствием теоремы Монтеля является следующий факт: Если область $D$ компактно лежит в области $G$, тогда оператор ограничения на область D функций, голоморфных в G, компактен (в топологии локально-равномерной сходимости функций).
• Теорема Монтеля используется при доказательстве теоремы Римана о конформном отображении (нужное конформное отображение ищется как то, которое максимизирует модуль производной в некоторой точке, а существование такого отображения следует из непрерывности этого функционала и компактности семейства функций со значениями в единичном круге).