Теорема Слуцкого

Об условии эргодичности Слуцкого см. Условие Слуцкого

Теоре́ма Слу́цкого связывает сходимость по мере и слабую сходимость случайных величин. Названа в честь Евгения Евгеньевича Слуцкого.

Теорема Слуцкого
Названо в честь	Слуцкий, Евгений Евгеньевич
Кем решена	Слуцкий, Евгений Евгеньевич

Формулировка

Пусть дано вероятностное пространство $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$, и $X_{n},Y_{m}:\Omega \to \mathbb {R} ,\,n,m\in \mathbb {N}$ — случайные величины. Тогда если

$X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X$,

где $X:\Omega \to \mathbb {R}$ — случайная величина, и

$Y_{m}\to ^{\!\!\!\!\!\!\mathbb {P} }c$,

где $c\in \mathbb {R}$ — константа, то

$X_{n}+Y_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X+c$

и

$X_{n}\cdot Y_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}c\cdot X$.

Обобщение

Пусть в предположениях классической теоремы имеется непрерывная функция $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$. Тогда

$f(X_{n},Y_{n})\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}f(X,c)$.

См. также

• Сходимость по вероятности
• Сходимость по распределению
• Теорема Манна — Вальда