Теорема Сохоцкого — Вейерштрасса

Теорема Сохоцкого — Вейерштрасса — теорема комплексного анализа, описывающая поведение голоморфной функции в окрестности существенной особой точки.

График функции комплексного переменного e^1/z.
Центрирован относительно существенно особой точки z = 0.
Цвет отражает аргумент, а яркость — модуль значения функции.

Она гласит, что всякая однозначная аналитическая функция в каждой окрестности существенно особой точки принимает значения, сколь угодно близкие к произвольному наперёд заданному комплексному числу.

История

Была опубликована Ю. В. Сохоцким в 1868 году в его магистерской диссертации; в ней доказывалось, что «в полюсе бесконечного порядка» (так была названа существенно особая точка) функция «должна принимать всевозможные значения» (под значением функции в этой точке в этой работе понималось предельное значение по сходящейся к ней последовательности точек).

Одновременно с Сохоцким теорему о плотности образа проколотой окрестности существенно особой точки опубликовал итальянский математик Ф. Казорати в своей работе «Теория функций комплексных переменных». Вейерштрасс опубликовал эту теорему только в 1876 году в работе «К теории однозначных аналитических функций». Впервые же она встречается у французских математиков Ш. Брио и Ж. К. Буке в работе по теории эллиптических функций.

Сохоцкий нигде не отстаивал своего приоритета по поводу этого и других своих результатов, приписывавшихся другим; в литературе на европейских языках теорема известна как теорема Казорати — Вейерштрасса.

Формулировка

Каково бы ни было $\varepsilon >0$, в любой окрестности существенно особой точки $z_{0}$ функции $f(z)$ найдётся хотя бы одна точка $z_{1}$, в которой значение функции $f(z)$ отличается от произвольно заданного комплексного числа B меньше, чем на $\varepsilon$.

Доказательство

Предположим, что теорема неверна, т.е.

$\exists B\in \mathbb {C} \qquad \exists \varepsilon >0\qquad \exists \eta _{0}>0:\qquad \forall z:|z-z_{0}|<\eta _{0}$

$|f(z)-B|>\varepsilon$

Рассмотрим вспомогательную функцию $\psi (z)={\frac {1}{f(z)-B}}$. В силу нашего предположения функция $\psi (z)$ определена и ограничена в $\eta _{0}$-окрестности точки $z_{0}$. Следовательно $z_{0}$ - устранимая особая точка $\psi (z)$. Это означает, что разложение функции $\psi (z)$ в окрестности точки $z_{0}$ имеет вид:

$\psi (z)=(z-z_{0})^{m}{\stackrel {\sim }{\varphi }}(z)\qquad {\stackrel {\sim }{\varphi }}(z)\neq 0$.

Тогда, в силу определения функции $\psi (z)$, в данной окрестности точки $z_{0}$ имеет место следующее разложение функции $f(z)$:

$f(z)=(z-z_{0})^{-m}\varphi (z)+B$,

где аналитическая функция $\varphi (z)={\frac {1}{{\stackrel {\sim }{\varphi }}(z)}}$ ограничена в $\eta _{0}$-окрестности точки $z_{0}$. Но такое разложение означает, что точка $z_{0}$ является полюсом или правильной точкой функции $f(z)$, и разложение последней в ряд Лорана должно содержать конечное число членов, что противоречит условию теоремы.

■

Эквивалентным образом эта теорема может быть переформулирована следующим образом:

• Если точка $z_{0}$ является существенно особой для функции $f(z)$, аналитической в некоторой проколотой окрестности $U=\{z:\,0<|z-z_{0}|<\varepsilon \}$, то для произвольного комплексного числа $w$ можно найти последовательность $\{z_{n}\}\subset U$, сходящуюся к $z_{0}$, для которой $\{f(z_{n})\}\to w$.
• множество значений голоморфной функции в сколь угодно малой проколотой окрестности её существенной особой точки всюду плотно в $\mathbb {C}$.

Обобщения

Теорему Сохоцкого обобщает Большая теорема Пикара, которая утверждает, что аналитическая функция в окрестности существенно особой точки принимает все значения кроме, быть может, одного значения.

Литература

• Евграфов М. А. Аналитические функции. — М.: Наука. — 1968, 448 стр.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.