Теорема Фишера для нормальных выборок

Теоре́ма Фи́шера для норма́льных вы́борок в математической статистике — это утверждение, характеризующее распределение выборочной дисперсии.

Формулировка

Пусть $X_{1},\ldots ,X_{n}\sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})$ — независимая выборка из нормального распределения. Пусть ${\overline {X}}$ — выборочное среднее, а $S^{2}$ — выборочная дисперсия. Тогда

• ${\sqrt {n}}\cdot {\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma }}\sim \mathrm {N} (0,1)$
• Случайные величины ${\overline {X}}$ и $S^{2}$ независимы;
• Случайная величина

${\frac {(n-1)\cdot S^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2}$

имеет распределение хи-квадрат с $n-1$ степенями свободы.

См. также

• Доверительный интервал для дисперсии нормальной выборки.