Тригонометрические тождества

Тригонометрические тождества — математические выражения для тригонометрических функций, которые выполняются при всех значениях аргумента (из общей области определения). В данной статье приведены только тождества с основными тригонометрическими функциями, но есть тождества и для редко используемых тригонометрических функций.

Пример шести тригонометрических функций угла θ = 0.7 радиан, построенный в единичной окружности. Величины, отмеченные 1, Sec(θ) и Csc(θ) равны длинам сегментов луча, исходящего из центра окружности. Величины Sin(θ), Tan(θ) и 1 равны высотам над осью x, величины Cos(θ), 1 и Cot(θ) равны длинам сегментов оси x от центра окружности.

Основные тригонометрические формулы править

Формула Допустимые значения аргумента
1.1    
1.2    
1.3    
1.4    
  • Формула (1.1) является следствием теоремы Пифагора.
  • Формулы (1.2) и (1.3) получаются из формулы (1.1) делением на   и   соответственно.
  • Формула (1.4) следует из определений тангенса и котангенса.

Формулы сложения и вычитания аргументов править

Формулы для двух аргументов править

 
Иллюстрация форм сложения и вычитания синусов и косинусов
 
Иллюстрация форм сложения тангенсов.
Формула Допустимые значения аргумента
2.1    
2.2    
2.3    ,  ,  
2.4    ,  ,  

Формула (2.3) получается при делении (2.1) на (2.2), а формула (2.4) — при делении (2.2) на (2.1).

Формулы для трёх аргументов править

Формула Допустимые значения аргумента
2.5    ,  ,  
2.6    ,  ,  
2.7    ,  ,  ,  
2.8    ,  ,  ,  

Формулы кратных углов править

Формулы кратных углов следуют из формул сложения при равенстве аргументов.

Формулы двойного угла править

Формула Допустимые значения аргумента
3.1    
3.2  
 
 
3.3    
 
3.4    

Формулы тройного угла править

Формулы тройного угла бывает удобным использовать в виде произведения, к которому их можно привести, применяя формулы преобразования суммы ниже.

Формула Допустимые значения аргумента
3.5    
3.6    
3.7    
3.8    

Формулы четверного угла править

Формула Допустимые значения аргумента
3.9    
3.10    
3.11    
 
3.12    

Общий случай править

Формула Допустимые значения аргумента
3.13    
3.14    
3.15    
 
3.16    

Формулы половинного угла править

Из формулы двойного угла для косинуса (3.2) выводятся формулы половинного угла, в частности тангенса половинного угла:

Формулы половинного угла
4.1  
4.2  
4.3  
4.4  

  В формулах половинного угла знаки перед радикалами следует брать в зависимости от знака тригонометрической функции, стоящей в левой части равенства.

  В формуле   и аналогичной для котангенса, левая и правая части имеют разные области определения и, следовательно, их неосторожное использование может приводить к приобретению корней!

Формулы понижения степени править

Формулы понижения степени выводятся из формул (3.2):

Синус Косинус Произведение
5.1   5.5   5.9  
5.2   5.6   5.10  
5.3   5.7   5.11  
5.4   5.8   5.12  

Формулы преобразования произведения функций править

Формулы преобразования произведения функций выводятся из формул сложения аргументов (2.1) и (2.2).

Синус и косинус Тангенс и котангенс
6.1   6.4  
6.2   6.5  
6.3   6.6  

Аналогичные формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов:

Формула
6.7  
6.8  
6.9  
6.10  

Формулы преобразования суммы функций править

Синус и косинус Тангенс и котангенс
7.1   7.4  
7.2   7.5  
7.3   7.6  

Справедливы также следующие частные случаи перехода от суммы к произведению и следствия из них:

Формула Допустимые значения аргумента
7.7.1    ,  ,  
7.7.2    
7.7.3    
7.8.1    ,  ,  
7.8.2    
7.8.3    

Решение простых тригонометрических уравнений править

  •  
Если   — вещественных решений нет.
Если   — решением является число вида   где  
  •  
Если   — вещественных решений нет.
Если   — решением является число вида  
  •  
Решением является число вида  
  •  
Решением является число вида  

Универсальная тригонометрическая подстановка править

Любая тригонометрическая функция может быть выражена через тангенс или котангенс половинного угла:

   
   
   

Вспомогательный аргумент (формулы сложения гармонических колебаний) править

Сумма двух гармонических колебаний с одинаковой частотой будет вновь гармоническим колебанием. В частности,

 

где     и   не равны нулю одновременно,   — это угол, называемый вспомогательным аргументом, который может быть найден из системы уравнений:

 

Примечание. Из вышеприведённой системы при   следует, что  , однако нельзя всегда считать, что  , так как арктангенс определяет угол от   до  , а угол может быть, вообще говоря, любым. Нужно учитывать знаки   и   чтобы определить, к какой четверти принадлежит угол  , в результате чего добавлять или убавлять   при необходимости.

Представление тригонометрических функций в комплексной форме править

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа   выполнено следующее равенство:

 

где   — основание натурального логарифма,

  — мнимая единица.

При помощи формулы Эйлера можно определить функции   и   следующим образом:

 

Отсюда следует, что

 
 

Все эти тождества аналитически обобщаются на любые комплексные значения.

См. также править