Тропическая геометрия

Тропическая геометрия — появившаяся в 2000-е годы область в математике, исходно возникшая в информатике, и связанная с алгебраической и симплектической геометрией. Исследуемые в ней объекты являются пределом образов амёб обычных алгебраических многообразий при вырождении последних.

Тропическая прямая на плоскости

Название «тропическая» отдаёт честь бразильской школе — пионерским работам бразильского математика венгерского происхождения Имре Шимона, исследовавшего тропическое полукольцо в связи с вопросами информатики и теории оптимизации.

Независимо от бразильской школы термин «тропическая» к тому же разделу математики с середины 1980-х годов применял В. П. Маслов. По его мысли, «идемпотентный (тропический) анализ» через посредство термодинамики описывал с экономической точки зрения европейскую колонизацию тропической Африки. Термин «идемпотентный» в научной среде не прижился, а термин «тропическая» применительно к новой математике, как более благозвучный и ёмкий, оказался очень популярным, хотя разные школы вкладывают в него разный смысл.

Основные понятия

Тропические кривые второй степени (в разных масштабах). Показаны соответствующие многочлены. Числа у рёбер показывают их кратность, если она не соответствует их наклону.

Тропические кривые третьей степени.

• Тропическое полукольцо (или тропическое полуполе) — множество вещественных чисел $\mathbb {R}$, снабжённое операциями тропического сложения $\oplus$ и тропического умножения $\odot$

$x\oplus y=\max(x,y),\quad x\odot y=x+y.$

• Тропический многочлен степени $d$ на плоскости — кусочно-аффинная функция вида

$f(x,y)=\bigoplus _{i+j\leq d}\,a_{i,j}\odot x^{\odot i}\odot y^{\odot j}=\max _{i+j\leq d}(ix+jy+a_{i,j}).$

Аналогично, тропический многочлен в общем случае — кусочно-аффинная функция вида

$f(x_{1},\dots ,x_{n})=\bigoplus _{|J|\leq d}\,a_{J}\odot x^{\odot J}=\max _{|J|\leq d}\,(a_{J}+\sum _{i}J_{i}x_{i}).$

• Тропическая кривая на плоскости, соответствующая данному тропическому многочлену $f$ степени $d$ — граф на плоскости, вершины и рёбра (конечные и бесконечные) которого образуют множество точек негладкости функции $f$. Рёбра этого графа считаются снабжёнными кратностями: ребро, разделяющее области линейности, отвечающие набору степеней $(i,j)$ и $(i',j')$, снабжается кратностью, равной наибольшему общему делителю разностей $i-i'$ и $j-j'$.
• В частности, тропическая прямая есть объединение трёх лучей, исходящих из некоторой точки $(x_{0},y_{0})$ и направленных вниз, влево и вправо-вверх под 45°. Тропические прямые обладают свойствами, аналогичными свойствам обычных прямых: через любые две точки общего положения проходит ровно одна тропическая прямая, и две тропические прямые общего положения пересекаются в единственной точке.

Литература

• Itenberg I., Mikhalkin G., Shustin E. Tropical algebraic geometry. — Basel: Springer, 2009. — viii+104 с. — (Oberwolfach Seminars).

• М. Э. Казарян. Тропическая геометрия. — М.: МЦНМО, 2012. — 43 с. — (Летняя школа «Современная математика»). — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-966-3.