Уравнение Пуассона

Уравне́ние Пуассо́на — эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое описывает

• электростатическое поле,
• гравитационное поле,
• стационарное поле температуры,
• поле давления,
• поле потенциала скорости в гидродинамике.

Оно названо в честь французского физика и математика Симеона Дени Пуассона.

Это уравнение имеет вид:

$\Delta \varphi =f,$

где $\varphi$ — искомая функция, $\Delta$ — оператор Лапласа, или лапласиан, а $f$ — заданная вещественная или комплексная функция на некотором многообразии.

В трёхмерной декартовой системе координат уравнение принимает форму:

$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).$

В декартовой системе координат оператор Лапласа записывается в форме $\nabla ^{2}$ ($\nabla$ — оператор набла) и уравнение Пуассона принимает вид:

${\nabla }^{2}\varphi =f.$

Уравнение Пуассона с $f\equiv 0$ называется уравнением Лапласа:

$\Delta \varphi =0.$

Уравнение Пуассона может быть решено с использованием функции Грина; см., например, статью экранированное уравнение Пуассона. Есть различные методы для получения численных решений. Например, используется итерационный алгоритм — «релаксационный метод».

Уравнение Пуассона в электростатике

Уравнение Пуассона является одним из важнейших уравнений электростатики. Оно широко используется для нахождения электростатического потенциала $\phi (\mathbf {r} )$ ($\mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k}$ — радиус-вектор) для известного распределения заряда.

В единицах системы СИ:

${\nabla }^{2}\phi =-{\rho \over \varepsilon _{0}},$

где $\phi$ — электростатический потенциал (в вольтах), $\rho$ — объёмная плотность заряда (в кулонах на кубический метр), а $\varepsilon _{0}$ — диэлектрическая проницаемость вакуума (в фарадах на метр). То есть в данном случае роль искомой функции $\varphi$ играет $\phi$, а роль функции $f$ перенимает $-\rho (\mathbf {r} )/\varepsilon _{0}$.

В единицах системы СГС то же электростатическое уравнение Пуассона записывается как ${\nabla }^{2}\phi =-{4\pi \rho }.$. Ниже используется только СИ.

Вывод уравнения для потенциала

Уравнение выводится из закона Гаусса ($\mathrm {div} \,\mathbf {E} \equiv \nabla \cdot \mathbf {E} ={\rho \over \varepsilon _{0}})$ и определения статического потенциала ($\mathbf {E} =-\nabla \phi$):

${\rho \over \varepsilon _{0}}=\nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot (-\nabla \phi )=-\nabla \cdot \nabla \phi =-\nabla ^{2}\phi .$

В области пространства, где нет «непарной» плотности заряда, а именно локальные положительные заряды скомпенсированы локальными отрицательными (допустим, ионный заряд локально скомпенсирован электронным):

$\rho =0,$

и уравнение для потенциала превращается в уравнение Лапласа:

${\nabla }^{2}\phi =0.$

Случай точечного заряда и обобщение

Известно, что потенциал, источником которого служит точечный электрический заряд $q$, имеет вид

$\phi _{q}={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{q \over r}$.

Такой потенциал, называемый кулоновским, есть по сути (а строго говоря при $q=1$) функция Грина

$\Phi _{1}(x,y,z)={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{1 \over r}$

для уравнения Пуассона, то есть решение уравнения

$\Delta \varphi =-{1 \over \varepsilon _{0}}\delta (x)\delta (y)\delta (z)\ ,$

где $\delta (x)$ — обозначение дельта-функции Дирака. Произведение трёх дельта-функций есть трехмерная дельта-функция, а $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$.

В связи с этим ясно, что решение уравнения Пуассона с произвольной правой частью может быть записано как

$\phi (x,y,z)=\int \rho (\xi ,\eta ,\zeta )\Phi _{1}(x-\xi ,y-\eta ,z-\zeta )d\xi d\eta d\zeta =$

$=\int {1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{\rho (\xi ,\eta ,\zeta ) \over {\sqrt {(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}}}}d\xi d\eta d\zeta .$

Здесь имеется в виду наиболее простой случай «без граничных условий», когда принимается, что на бесконечности решение должно стремиться к нулю. Рассмотрение более общего случая произвольных граничных условий и вообще более подробное изложение - см. в статье Функция Грина.

Физический смысл последней формулы — применение принципа суперпозиции (что возможно, поскольку уравнение Пуассона линейно) и нахождение потенциала как суммы потенциалов точечных зарядов $\rho dV$.

Случай гауссовой плотности заряда

Для практически важного случая сферически симметричного гауссова распределения заряда $\rho (r)$:

$\rho (r)={\frac {Q}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}^{3}}}\,e^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})},$

где $Q$ — общий заряд, решение $\phi (r)$ уравнения Пуассона:

${\nabla }^{2}\phi =-{\rho \over \varepsilon _{0}}$

даётся выражением:

$\phi (r)={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{\frac {Q}{r}}\,{\mbox{erf}}\left({\frac {r}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right),$

где $\mathrm {erf} (x)$ — функция ошибок. Это решение можно проверить напрямую вычислением ${\nabla }^{2}\phi$. Для $r$, много больших, чем $\sigma$, $\mathrm {erf} (x)$ приближается к единице, и потенциал $\phi (r)$ приближается к потенциалу точечного заряда ${1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{Q \over r}$, как и следовало ожидать.

Уравнение Пуассона в других областях

Сфера электростатики — не единственная область применения уравнения Пуассона. В числе других областей — расчёт гравитационного потенциала $\varphi$; его градиент определяет напряжённость гравитационного поля.

Потенциал $\varphi$, создаваемый точечной массой $m$, расположенной в начале координат, равен

$\varphi _{m}=-{\frac {Gm}{r}},$

где $G$ — гравитационная постоянная, $r$ — расстояние от начала координат. На бесконечности потенциал такого вида обращается в ноль. В общем случае произвольного распределения массы, описываемого координатно-зависимой плотностью $\rho$ (кг/м³), уравнение Пуассона записывается:

$\nabla ^{2}\varphi =4\pi G\rho .$

С точностью до замены $-1/\varepsilon _{0}\to 4\pi G$ и изменения смысла величины $\rho$ («плотность заряда» $\to$ «плотность массы»), уравнение подобно соответствующему электростатическому уравнению. Правда, в случае гравитационных сил не бывает ситуации отталкивания, но на решении этот факт никак не сказывается.

Решение такой же вид, как и в электростатике:

$\varphi (x,y,z)=-\int G{\rho (\xi ,\eta ,\zeta ) \over {\sqrt {(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}}}}d\xi d\eta d\zeta .$

Рассмотрение уравнения Пуассона в остальных упоминавшихся в преамбуле областях физики может быть выполнено аналогично, только со специфическим для конкретной области смыслом входящих в него величин.

См. также

• Дискретное уравнение Пуассона
• Экранированное уравнение Пуассона

Ссылки

• Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9