Уравнение в функциональных производных

Уравнение в функциональных производных — обобщение понятия дифференциального уравнения на случай бесконечного множества переменных. Применяется в функциональном анализе и теоретической физике (уравнение Швингера — Томонаги, уравнения Швингера).

Обыкновенное уравнение в функциональных производных получается с помощью предельного перехода к бесконечному множеству переменных из уравнения в полных дифференциалах:

$du=p_{1}dx_{1}+p_{2}dx_{2}+...+p_{n}dx_{n}$ (1),

где: $u$ и коэффициенты $p_{j}$ являются функциями от $n$ переменных $x_{1},x_{2},...,x_{n}$.

При переходе к пределу $n\to \infty$ в уравнении (1) сумма превратится в интеграл и оно примет вид:

$\delta U=\int _{0}^{1}f[x(t);U,\tau ]\delta x(\tau )d\tau$ (2),

где: $U$ - неизвестный функционал от функции $x(t)$, $\tau$ - переменная интегрирования.

При помощи понятия функциональной производной это уравнение можно записать в виде:

$U_{x(\tau )}^{'}=f[x(t);U,\tau ]$ (3),

где: $U_{x(\tau )}^{'}$ - функциональная производная.

Если семейство функций $x(t)$ принадлежит пространству $L_{2}$ и зависит от числового параметра, то уравнение в функциональных производных превращается в дифференциальное уравнение первого порядка, которое удобно решать методом последовательных приближений.

Если функционал $U$ зависит не только от функции $x(t)$, но и от одного или нескольких числовых параметров, то уравнение в функциональных производных превращается в интегро-дифференциальное уравнение, для решения которого также можно использовать метод последовательных приближений.

Литература

• Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа. — М.: Наука, 1967. — 509 с.