Факторгруппа

Факторгруппа — множество смежных классов группы по её нормальной подгруппе, само являющееся группой с определённой специальным образом групповой операцией.

Факторгруппа группы $G$ по нормальной подгруппе $H$ обычно обозначается $G/H$ .

Образ группы при гомоморфизме изоморфен её факторгруппе по ядру этого гомоморфизма.

Определение править

Пусть $G$ — группа, $H$ — её нормальная подгруппа и $a\in G$ — произвольный элемент. Тогда на классах смежности $H$ в $G$

aH=\{\,ah\mid \,h\in H\}

можно ввести умножение:

(aH)(bH)=abH

Легко проверить что это умножение не зависит от выбора элементов в классах смежности, то есть если $aH=a'H$ и $bH=b'H$ , то $abH=a'b'H$ . Это умножение определяет структуру группы на множестве классов смежности, а полученная группа $G/H$ называется факторгруппой $G$ по $H$ .

Свойства править

Теорема о гомоморфизме: Для любого гомоморфизма $\varphi :G\to K$

G/\mathrm {Ker} \,\varphi \cong \varphi (G)

,

то есть факторгруппа

G

по ядру

\mathrm {Ker} \,\varphi

изоморфна её образу

\varphi (G)

в

K

.

Отображение $a\mapsto aH$ задаёт естественный гомоморфизм $G\to G/H$ .
Порядок $G/H$ равен индексу подгруппы $[G:H]$ . В случае конечной группы $G$ он равен $|G|/|H|$ .
Если $G$ абелева, нильпотентна, разрешима, циклическая или конечнопорождённая, то и $G/H$ будет обладать тем же свойством.
$G/G$ изоморфна тривиальной группе ( $\{e\}$ ), $G/{e}$ изоморфна $G$ .

Примеры править

Пусть $G=\mathbb {Z}$ , $H=n\mathbb {Z}$ , тогда $G/H$ изоморфна $\mathbb {Z} _{n}$ .
Пусть $G=\mathbf {UT} _{n}$ (группа невырожденных верхнетреугольных матриц), $H=\mathbf {SUT} _{n}$ (группа верхних унитреугольных матриц), тогда $G/H$ изоморфна группе диагональных матриц.
Пусть $G=S_{4}$ (симметрическая группа), $H=V_{4}$ (четверная группа Клейна, состоящая из перестановок e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)) тогда $G/H$ изоморфна $S_{3}$ .
Пусть $G=S_{n}$ (симметрическая группа), $H=A_{n}$ (знакопеременная группа), тогда $G/H$ изоморфна $\mathbb {Z} _{2}$ .
Пусть $G=Q_{8}$ (группа кватернионов), $H=\mathbb {Z} _{2}$ (циклическая группа, состоящая из 1, −1), тогда $G/H$ изоморфна $V_{4}$ .