Факториальное кольцо

Факториа́льное кольцо́ — нётерова область целостности, в которой всякий неприводимый элемент является простым. Факториальные кольца часто называются гауссовыми в честь Гаусса.

Определение

Менее формально, факториальное кольцо определяется как область целостности $R$, в которой каждый ненулевой элемент $x$ можно записать в виде произведения неприводимых элементов $p_{i}$ и обратимого элемента $u$:

$x=u\cdot p_{1}\cdot ...\cdot p_{n}$;

при этом в случае, если $x$ обратим, то $n=0$, то есть произведение вырождается до одного множителя. И это разложение единственно в следующем смысле: если $q_{1},...,q_{m}$ — неприводимые элементы $R$ и $w$ — обратимый элемент, такие что

$x=w\cdot q_{1}\cdot ...\cdot q_{m}$,

то $m=n$ и существует биективное отображение $\varphi :\{1,...,n\}\rightarrow \{1,...,m\}$ такое что $p_{i}$ — элемент, ассоциированный с $q_{\varphi (i)}$ для $i\in \{1,...,n\}$.

Примеры

• Все евклидовы кольца, в частности, кольцо целых чисел (см. основная теорема арифметики) и кольцо гауссовых целых чисел.
• Если $R$ факториально, то и кольцо многочленов $R[x]$ факториально, отсюда следует, что и кольцо $R[x_{1},...,x_{n}]$ факториально.
• Теорема Аусландера — Буксбаума: каждое регулярное локальное кольцо является факториальным.
• Кольцо формальных степенных рядов над областью главных идеалов является факториальным.
• Пусть $R$ — поле характеристики не 2. Клейн и Нагата показали, что $R[x_{1},...,x_{n}]/Q$ факториально, если $Q$ — невырожденная квадратичная форма и n не меньше пяти.
• Локализация факториального кольца факториальна. Более того, подходящей локализацией и из нефакториального кольца можно получить факториальное кольцо. Например, кольцо $\mathbb {\mathbb {Z} } [{\sqrt {-3}}]$ не факториально (так как $(1+{\sqrt {-3}})\cdot (1-{\sqrt {-3}})=4=2\cdot 2$), а его локализация $\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}},1/2]$ факториальна.

Эквивалентные формулировки

Пусть $R$ — целостное кольцо. Следующие утверждения эквивалентны:

• $R$ факториально.
• Каждый ненулевой простой идеал $R$ содержит простой элемент, то есть такой элемент, что главный идеал, порожденный этим элементом, прост.
• $R$ — кольцо Крулля, в котором каждый дивизорный идеал главный (так определяется факториальное кольцо у Бурбаки).
• $R$ — кольцо Крулля и каждый простой идеал, не содержащий других ненулевых простых идеалов, главный.

Свойства факториальных колец

1. В факториальных кольцах корректно определены понятия наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного любого конечного набора элементов, а также понятие взаимной простоты элементов.

2. Лемма о совместной делимости. Если элемент $N$ факториального кольца делится на каждый из элементов $a_{1}$, $a_{2}$, … ,$a_{k}$, причём эти элементы попарно взаимно просты, тогда $N$ делится на их произведение.

3. Если $N^{n}=a_{1}a_{2}\dots a_{k}$, причём элементы $a_{1},a_{2},...,a_{k}$ попарно взаимно просты, тогда каждое из них имеет вид $a_{i}=u_{i}b_{i}^{n}$, где $u_{i}$ — обратимые элементы кольца.

4. Любую дробь $a/b$, составленную из элементов факториального кольца, можно записать в несократимом виде, то есть существуют взаимно простые элементы $p$ и $q$ (однозначно определённые с точностью до ассоциирования), такие что $a/b=p/q$.

5. Теорема Гаусса. Если дробь $a/b$ является корнем многочлена $x^{n}+c_{1}x^{n-1}+\dots +c_{n}$ со старшим коэффициентом, равным 1 (элементы $a,b$, а также все коэффициенты многочлена — элементы факториального кольца $R$), тогда $a/b$ лежит в $R$, то есть $a$ делится на $b$ в кольце $R$. (Данное свойство кольца называется целозамкнутостью).

Литература

• Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М.: Мир, 1971.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 1.
• Ленг С. Алгебра. — Мир, 1967.