Флаг (математика)

Флаг — цепочка вложенных друг в друга подпространств векторного пространства $L$ (или пространства другого типа, для которого определено понятие размерности), имеющая вид

$L_{0}\subset L_{1}\subset L_{2}\subset \dots \subset L_{k}=L,$

где

$0=\dim L_{0}<\dim L_{1}<\dim L_{2}<\cdots <\dim L_{k}=\dim L.$

Наиболее часто встречается понятие полного (или максимального) флага, в котором $\dim L_{i}=i$, и следовательно, число $k=\dim L.$ Обычно в определении полного флага добавляется дополнительное условие направленности каждой пары соседних подпространств в цепочке (см. определение ниже).

Понятие флага используется главным образом в алгебре и геометрии (иногда называется также фильтрацией).

Полный флаг

Полным флагом в векторном пространстве $L$ конечной размерности $n$ называется последовательность подпространств

$L_{0}\subset L_{1}\subset L_{2}\subset \dots \subset L_{n},\quad \dim L_{i}=i,$

где подпространство $L_{0}$ состоит лишь из нулевого вектора, подпространство $L_{n}$ совпадает со всем $L$ $(L_{n}=L)$, и каждая пара соседних подпространств $(L_{i},L_{i-1})$ является направленной, т.е. из двух полупространств, на которые подпространство $L_{i-1}$ разбивает $L_{i}$, выбрано одно (иначе говоря, пара этих полупространств является упорядоченной).

Базисы $e_{1},e_{2}$ и $e_{1},e'_{2}$ задают один и тот же флаг на плоскости

Каждый базис $e_{1},\ldots ,e_{n}$ векторного пространства $L$ определяет в нём некоторый полный флаг. А именно, положим $L_{i}=\langle e_{1},\ldots ,e_{i}\rangle$ (здесь треугольные скобки означают линейную оболочку стоящих между ними векторов), а для задания направленности пары $(L_{i},L_{i-1})$ выберем то полупространство, которое содержит вектор $e_{i}$.

Построенное таким образом соответствие между базисами и полными флагами не является взаимно однозначным: разные базисы пространства могут определять в нём один и тот же флаг (например, на рисунке справа базисы $e_{1},e_{2}$ и $e_{1},e'_{2}$ на плоскости определяют один и тот же полный флаг). Однако если векторное пространство $L$ является евклидовым, то, оперируя не с произвольными, а лишь с ортонормированными базисами этого пространства, мы получаем взаимно однозначное соответствие между ортонормированными базисами и полными флагами.

Следовательно, для любых двух полных флагов евклидова пространства $L$ существует единственное ортогональное преобразование $A:L\to L$, переводящее первый флаг во второй.

Флаги в аффинных пространствах и геометрии Лобачевского

Аналогичным образом определяются полные флаги в аффинном пространстве и пространстве Лобачевского размерности $n$:

$L_{0}\subset L_{1}\subset L_{2}\subset \dots \subset L_{n},\quad \dim L_{i}=i,$

где подпространство $L_{0}$ состоит лишь из одной точки (аффинного пространства или пространства Лобачевского), называемой центром флага, подпространство $L_{n}$ совпадает со всем $L$ $(L_{n}=L)$, и каждая пара $(L_{i},L_{i-1})$ является направленной.

Для любых двух полных флагов евклидова аффинного пространства или пространства Лобачевского существует движение этого пространства, переводящее первый флаг во второй, и такое движение единственно. Софус Ли назвал это свойство свободной подвижностью пространства. Теорема Гельмгольца—Ли утверждает, что этим свойством обладают только три типа пространств (три «великих геометрии»): Евклида, Лобачевского и Римана.

Гнездо

В бесконечномерном пространстве V идея флага обобщается до гнезда. А именно, набор подпространств, вполне упорядоченных по включению замкнутых подпространств, называется гнездом.

Литература

• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Наука, 1986.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.