Формула Муавра для комплексного числа утверждает, что[1][2]:

для любого целого числа .

Названа в честь английского математика Абрахама де Муавра, в трудах которого была приведена формула, эквивалентная приведённой (1707, далее 1722 и 1740 годы), в современной символике она опубликована Эйлером[3].

Извлечение корней править

 
Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника)

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-й степени из ненулевого комплексного числа[4]:

 

где  .

Из этой формулы следует, что корни  -й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно  . На комплексной плоскости, как видно из той же формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса   с центром в нуле.

Связь с формулой Эйлера править

Исторически формула Муавра была доказана ранее формулы Эйлера:

 

однако немедленно следует из неё.

Для любого целого   верно

 

По формуле Эйлера левая часть равна  , в то время как правая равна

 

Примечания править

Литература править

  • Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
  • Энциклопедия элементарной математики (в 5 томах). — М.: Физматгиз, 1951. — Т. 1. — С. 160—168. — 448 с.
  • Ahlfors Lars V. Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. — Third edition. — Harvard University: McGraw-Hill Book Company, 1979. — 317 с. — ISBN 0-07-000657-1.