В математике формула Стирлинга (также формула Муавра — Стирлинга ) — формула для приближённого вычисления факториала и гамма-функции . Названа в честь Джеймса Стирлинга и Абрахама де Муавра , последний считается автором формулы[1] .
Отношение (ln n !) к (n ln n − n ) стремится к 1 с увеличением n Наиболее используемый вариант формулы:
ln Γ ( n + 1 ) = ln n ! = n ln n − n + O ( ln n ) . {\displaystyle \ln \Gamma (n+1)=\ln n!=n\ln n-n+O(\ln n).} Следующий член в O ( ln n ) {\displaystyle O(\ln n)} это 1 2 ln ( 2 π n ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln(2\pi n)} ; таким образом более точная аппроксимация:
lim n → ∞ n ! 2 π n ( n e ) n = 1 , {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{{\sqrt {2\pi n}}\,\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}}=1,} что эквивалентно
n ! ∼ 2 π n ( n e ) n . {\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.} Часто формулу Стирлинга записывают в виде
n ! = 2 π n ( n e ) n exp θ n 12 n , {\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp {\frac {\theta _{n}}{12n}},} где 0 < θ n < 1 {\displaystyle 0<\theta _{n}<1} , n > 0 {\displaystyle n>0} .
Более точную оценку даёт формула
n ! = 2 π n ( n e ) n exp 1 12 n + θ n , {\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp {\frac {1}{12n+\theta _{n}}},} где 0 < θ n < 1 {\displaystyle 0<\theta _{n}<1} , n > 0 {\displaystyle n>0} .
В последней формуле максимальное значение θ n {\displaystyle \theta _{n}} в действительности меньше 1 и примерно равно 0,7509.
Формула Стирлинга является приближением, полученным из разложения факториала в ряд Стирлинга , который при n > 0 {\displaystyle n>0} имеет вид
n ! ∼ 2 π n ( n e ) n exp ∑ k = 1 ∞ B 2 k 2 k ( 2 k − 1 ) n 2 k − 1 = = 2 π n ( n e ) n ( 1 + 1 12 n + 1 288 n 2 − 139 51840 n 3 − 571 2488320 n 4 + ⋯ ) = = 2 π n ( n e ) n ( 1 + 1 ( 2 1 ) ( 6 n ) 1 + 1 ( 2 3 ) ( 6 n ) 2 − 139 ( 2 3 ) ( 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ) ( 6 n ) 3 − − 571 ( 2 6 ) ( 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ) ( 6 n ) 4 + ⋯ ) , {\displaystyle {\begin{aligned}n!&\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2k(2k-1)n^{2k-1}}}=\\&={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+\cdots \right)=\\&={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{(2^{1})(6n)^{1}}}+{\frac {1}{(2^{3})(6n)^{2}}}-{\frac {139}{(2^{3})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{3}}}-{}\right.\\&\qquad \left.{}-{\frac {571}{(2^{6})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{4}}}+\cdots \right),\end{aligned}}} где B j {\displaystyle B_{j}} — числа Бернулли с номером j {\displaystyle j} .
В этой формуле используется символ эквивалентности вместо равенства, так как ряд расходится при каждом фиксированном n {\displaystyle n} , однако он является асимптотическим разложением факториала при n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } .
↑ Pearson, Karl (1924), "Historical note on the origin of the normal curve of errors", Biometrika , 16 : 402–404 [p. 403], doi :10.2307/2331714 : «Стирлинг лишь показал, что арифметическая константа в формуле Муавра равна 2 π {\displaystyle {\sqrt {2\pi }}} . Я считаю, что это не делает его автором теоремы».