Формула Эйлера — Маклорена

Формула суммирования Эйлера — Маклорена — формула, позволяющая выражать дискретные суммы значений функции через интегралы от функции. В частности, многие асимптотические разложения сумм получаются именно через эту формулу.

Формула была найдена независимо Леонардом Эйлером в 1732 году и Колином Маклореном примерно в 1735 году (и позже была обобщена до формулы Дарбу). Эйлер получил эту формулу, когда ему потребовалось вычислить медленно сходящийся ряд, а Маклорен использовал её для вычисления интегралов.

Формула

Формула Эйлера — Маклорена имеет вид:

$\sum \limits _{a\leqslant k<b}f(k)=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx+\left.\sum \limits _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}}{k!}}f^{(k-1)}(x)\right|_{a}^{b}+R_{m},$

где

$R_{m}=(-1)^{m+1}\int \limits _{a}^{b}{\frac {B_{m}(\{x\})}{m!}}f^{(m)}(x)dx,$

здесь $a\leqslant b,m$ — натуральное, $B_{k}$ — числа Бернулли, $f(x)$ — достаточно гладкая функция, чтобы иметь производные $f'(x),\ldots ,f^{(m)}(x)$, $B_{m}(t)$ — многочлен Бернулли, $\{x\}$ — дробная часть x. В случае, когда $R_{m}$ мало, получаем хорошее приближение для суммы.

Многочлены Бернулли $B_{n}(x),n=0,1,2,\ldots$ определяются рекуррентно как

$B_{0}(x)=1,$

$B_{n}'(x)=nB_{n-1}(x),\ \int \limits _{0}^{1}B_{n}(x)dx=0,n\in \mathbb {N} .$

Выражение $B_{n}(\{x\})=P_{n}(x)$ называется периодической функцией Бернулли.

Остаточный член

Остаточный член R может быть легко выражен в терминах $P_{n}(x)$:

$R=-\int \limits _{a}^{b}f^{(2p)}(x){\frac {P_{2p}(x)}{(2p)!}}dx,$

или эквивалентным образом, получаемым интегрированием по частям, предполагая, что $f^{(2p)}$ дифференцируема еще раз, и вспоминая, что нечетные числа Бернулли равны нулю:

$R=\int \limits _{a}^{b}f^{(2p+1)}(x){\frac {P_{(2p+1)}(x)}{(2p+1)!}}dx.$

где $n\geqslant 0$. Можно показать, что

$\left|B_{n}(x)\right|\leqslant {\frac {2n!}{(2\pi )^{n}}}\zeta (n),$

где $\zeta$ обозначает дзета-функцию Римана. Равенство достигается для четных n и $x=0$. С помощью этого неравенства остаточный член оценивается как

$\left|R\right|\leqslant {\frac {2\zeta (2p)}{(2\pi )^{2p}}}\int \limits _{a}^{b}\left|f^{(2p)}(x)\right|dx$

Доказательство

Операторные соображения

Перед доказательством удобно рассмотреть соображения высшего порядка (принадлежащие Лагранжу) о том, почему такая формула имеет место. Пусть $\Delta$ — разностный оператор, $\Sigma$ — оператор суммирования, $D$ — оператор дифференцирования, $\int$ — оператор интегрирования. Тогда оператор $\Delta$ обратен к $\Sigma$, а $D$ обратен к $\int$. Можно выразить $\Delta$ через $D$ с помощью формулы Тейлора:

$\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)={\frac {f'(x)}{1!}}+{\frac {f''(x)}{2!}}+{\frac {f'''(x)}{3!}}+\ldots =\left({\frac {D}{1!}}+{\frac {D^{2}}{2!}}+{\frac {D^{3}}{3!}}+\ldots \right)f(x)=(e^{D}-1)f(x),$

т.е. $\Delta =e^{D}-1$ и тогда $\Sigma =\Delta ^{-1}={\frac {1}{e^{D}-1}}$, а поскольку ${\frac {z}{e^{z}-1}}=\sum \limits _{k\geqslant 0}B_{k}{\frac {z^{k}}{k!}}$, то

$\sum ={\frac {B_{0}}{D}}+{\frac {B_{1}}{1!}}+{\frac {B_{2}}{2!}}D+{\frac {B_{3}}{3!}}D^{2}+\ldots =\int +\sum \limits _{k\geqslant 1}{\frac {B_{k}}{k!}}D^{k-1}.$

Применяя это операторное соотношение к $f(x)$, получаем искомую формулу, но без остаточного члена.

Этот вывод чисто формальный и не касается вопросов сходимости.

Доказательство с остаточным членом

Достаточно доказать формулу при $a=0,b=1$, поскольку мы можем любой отрезок $[a;b]$ с целыми границами разбить на отрезки длины 1 и сдвигом перевести их в $[0;1]$. При $a=0,b=1$ формула имеет вид

$f(0)=\int \limits _{0}^{1}f(x)dx+\left.\sum \limits _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}}{k!}}f^{(k-1)}(x)\right|_{0}^{1}+(-1)^{(m+1)}\int \limits _{0}^{1}{\frac {B_{m}(x)}{m!}}f^{(m)}(x)dx.$

Доказательство будем вести индукцией по m.

База. При $m=1,B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2}}$. Интегрируя по частям, при $u(x)=f(x),v(x)=x-{\frac {1}{2}}$, мы получаем:

$f(0)=\int \limits _{0}^{1}f(x)dx-{\frac {1}{2}}(f(1)-f(0))+\int \limits _{0}^{1}\left(x-{\frac {1}{2}}\right)f'(x)dx.$

Шаг. Шаг индукции равносилен доказательству равенства $R_{m-1}=\left.{\frac {B_{m}}{m!}}f^{(m-1)}(x)\right|_{0}^{1}+R_{m}$, то есть нужно доказать, что

$\left.(-1)^{m}B_{m}f^{(m-1)}(x)\right|_{0}^{1}=m\int \limits _{0}^{1}B_{m-1}(x)f^{(m-1)}(x)dx+\int \limits _{0}^{1}B_{m}(x)f^{(m)}(x)dx.$

Здесь снова применима формула интегрирования по частям при $u(x)=f^{(m-1)}(x),v(x)=B_{m}(x)$: $B_{m}'(x)=mB_{m-1}(x)$, поэтому формула верна благодаря тому, что

$\left.(-1)^{m}B_{m}f^{(m-1)}(x)\right|_{0}^{1}=\left.B_{m}(x)f^{(m-1)}(x)\right|_{0}^{1},$

то есть $(-1)^{m}B_{m}=B_{m}(1)=B_{m}(0)$, а это верно, поскольку при нечётных m у нас $B_{m}=0,$.

Применение

Сумма степеней

Вычислим сумму степеней $\sum \limits _{a\leqslant k<b}k^{m-1}$. Положим $f(x)=x^{m-1}$, тогда $f^{(m)}(x)=0$ и $R_{m}=0$, вычисляя интегралы, получаем:

$\sum \limits _{a\leqslant k<b}k^{m-1}={\frac {1}{m}}\sum \limits _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}B_{k}(b^{m-k}-a^{m-k}).$

Сумма обратных квадратов

Основная статья: Ряд обратных квадратов

Вычислить сумму

$1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}\cdots =\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.$

Эйлер вычислил эту сумму до 20 десятичных знаков с помощью небольшого числа членов формулы Эйлера-Маклорена в 1735. Это, вероятно, убедило его в том, что эта сумма равна ${\frac {\pi ^{2}}{6}}$, что и было им доказано в том же году.

Численное интегрирование

Формула Эйлера-Маклорена также может быть использована для детального анализа ошибок численных методов интегрирования. Она объясняет высокую производительность метода трапеций на гладких периодических функциях и используется в определенных методах экстраполяции. Clenshaw–Curtis quadrature существенно изменяет переменные, выражая произвольный интеграл в терминах интегралов периодических функций, для которых приближение Эйлера-Маклорена особенно точно (в этом частном случае формула Эйлера-Маклорена берется в форме дискретного косинус-преобразования). Эта техника называется преобразованием к периодической функции.

Асимптотическое выражение для суммы

Для вычисления асимптотического выражения суммы или ряда обычно чаще всего используется следующая форма формулы Эйлера-Маклорена:

$\sum \limits _{n=a}^{b}f(n)\sim \int \limits _{a}^{b}f(x)dx+{\frac {f(a)+f(b)}{2}}+\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right),$

где a,b - целые. Часто формула остается справедливой и при расширении пределов $a\to -\infty$ или $b\to +\infty$, или обоих. Во многих случаях интеграл в правой части может быть вычислен замкнутой форме в терминах элементарных функций, даже если сумма в левой части так не может быть выражена. Тогда все члены асимптотического ряда могут быть выражены в терминах элементарных функций. Например,

$\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\sim \underbrace {\int \limits _{0}^{+\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}dk} _{=1/z}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum \limits _{t=1}^{+\infty }{\frac {B_{2t}}{z^{2t+1}}}.$

Здесь левая часть равна $\psi ^{(1)}(z)$, называемая полигамма-функцией первого порядка, определяемая как $\psi ^{(1)}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\ln \Gamma (z)$; гамма-функция $\Gamma (z)$ равна $(z-1)!$, если z натуральное. Полученный результат есть асимптотическое разложение $\psi ^{(1)}(z)$. Это выражение используется как отправной пункт для получения оценки точной ошибки формулы Стирлинга для факториала.

Аппроксимация для гармонических чисел

Полагаем $f(x)=x^{-1}$, тогда $f^{(m)}(x)=(-1)^{m}m!x^{-m-1}=O(x^{-m-1})$ и тогда получаем

$\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum \limits _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}-\theta _{m,n}{\frac {B_{2m+2}}{(2m+2)n^{2m+2}}},$

где $0<\theta _{m,n}<1$. Отсюда можно относительно быстро вычислить постоянную Эйлера $\gamma$.

Аппроксимация Стирлинга для факториала

Полагаем $f(x)=\ln x$, тогда $f'(x)=x^{-1},f^{(m+1)}(x)=(-1)^{m}m!x^{-m-1}$ и тогда получаем

$\sum \limits _{k=1}^{n}\ln k=n\ln n-n+\sigma -{\frac {\ln n}{2}}+\sum \limits _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{2k(2k-1)n^{2k-1}}}-\phi _{m,n}{\frac {B_{2m+2}}{(2m+1)(2m+2)n^{2m+1}}},$

где на самом деле $\sigma =\ln {\sqrt {2\pi }}$. Взяв экспоненту от обеих частей, получим формулу Стирлинга.

Литература

• Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. — М.: Мир, 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3.
• Фихтенгольц Г. М. Глава 12. § 6. Обвертывающие и асимптотические ряды. Формула Эйлера-Маклорена // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 7-е изд.,стереотип. — М.: Наука, 1969. — Т. 2. — С. 531—551. — 800 с.