Формула полной вероятности

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

Формулировка

Пусть дано вероятностное пространство $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$, и полная группа попарно несовместных событий $\{B_{i}\}_{i=1}^{n}\subset {\mathcal {F}}$, таких что

1. $\forall i\;\mathbb {P} \;(B_{i})>0;$
2. $\forall {j\neq i}\;B_{i}\cap B_{j}=\varnothing ;$
3. $\bigcup _{i=1}^{n}B_{i}=\Omega .$

Пусть $A\in {\mathcal {F}}$ — интересующее нас событие. Тогда получим:

$\mathbb {P} (A)=\sum \limits _{i=1}^{n}\mathbb {P} (A\mid B_{i})\mathbb {P} (B_{i})$.

Замечание

Формула полной вероятности также имеет следующую интерпретацию. Пусть $N$ — случайная величина, имеющая распределение

$\mathbb {P} (N=n)=\mathbb {P} (B_{n})$.

Тогда

$\mathbb {P} (A)=\mathbb {E} \left[\mathbb {P} (A\mid N)\right]$,

т.е. априорная вероятность события равна среднему его апостериорной вероятности.

См. также

• Условная вероятность
• Условное математическое ожидание
• Теорема Байеса