Центральная сила

Сила $\mathbf {F}$, действующая на материальную точку P, называется центральной с центром O, если во время движения точки P она действует вдоль линии, соединяющей точки O и P. Математически такая сила может быть записана в сферической системе координат как $\mathbf {F} =F_{r}(r,\theta ,\varphi )\mathbf {e} _{r}$, где $F_{r}$ — радиальная составляющая силы, $(r,\theta ,\varphi )$ — сферические координаты точки P: удаление от центра и два угла, $\mathbf {e} _{r}$ — орт сферической системы, направленный от центра O. В большинстве случаев, хотя и не всегда, подразумевается, что $F_{r}$ не зависит от углов, то есть что сила имеет вид $\mathbf {F} =F_{r}(r)\mathbf {e} _{r}$; тогда центральная сила гарантированно является консервативной.

Общие свойства центральных сил

• Если материальная точка совершает движение под действием центральной силы с центром O, то момент количества движения точки сохраняется, а она сама совершает движение в плоскости, перпендикулярной вектору момента количества движения относительно точки O и проходящей через эту точку O.

• Если система материальных точек совершает движение под действием центральных сил c общим центром O, то момент количества движения системы сохраняется.

• Если действующая на точку P (положение которой задаётся радиус-вектором $\mathbf {r}$ из центра O) центральная сила зависит только от расстояния $r=|\mathbf {r} |$ между O и P, то эта сила является потенциальной: существует функция $U$, называемая потенциалом, такая, что

$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-\mathbf {\nabla } U(r)$.

• Формула Бине позволяет определить центральную силу, если известно уравнение траектории материальной точки, движущейся под её действием, или по заданной центральной силе определить траекторию.

Потенциальность центральной силы

Доказать или опровергнуть потенциальность силы можно путём взятия её ротора, который для потенциальности должен быть тождественным нулём. Применительно к центральным силам это делается в сферической системе координат с центром О. Ротор записывается:

${\mbox{rot}}\,\mathbf {F} ={1 \over r\sin \theta }\left({\partial \over \partial \theta }\left(F_{\varphi }\sin \theta \right)-{\partial F_{\theta } \over \partial \varphi }\right)\mathbf {e} _{r}+$

$\qquad \quad +{1 \over r}\left({1 \over \sin \theta }{\partial F_{r} \over \partial \varphi }-{\partial \over \partial r}\left(rF_{\varphi }\right)\right)\mathbf {e} _{\theta }+{1 \over r}\left({\partial \over \partial r}\left(rF_{\theta }\right)-{\partial F_{r} \over \partial \theta }\right)\mathbf {e} _{\varphi }$,

где $F_{r}$, $F_{\varphi }$, $F_{\theta }$ суть компоненты силы в сферической системе. Из записи видно, что при центральной симметрии, то есть для сил класса $\mathbf {F} =F_{r}(r)\mathbf {e} _{r}$ все шесть производных в выражении ротора оказываются нулевыми. Если же $\mathbf {F} =F_{r}(r,\theta ,\varphi )\mathbf {e} _{r}$, то потенциальности нет ввиду отличия от нуля производных $\partial F_{r}/\partial \varphi$ или $\partial F_{r}/\partial \theta$.

Примеры центральных сил

• Центральная сила ньютоновского притяжения (величина силы $F_{r}(r)$ пропорциональна $1/r^{2}$)
• Сила Кулона (величина силы $F_{r}(r)$ пропорциональна $1/r^{2}$)
• Сила Гука (величина силы $F_{r}(r)$ пропорциональна $r$)

Случай сферической симметрии

При сферической симметрии на равных с центральной силой $\mathbf {F} (r)=F_{r}(r)\mathbf {e} _{r}$ рассматривается её потенциал $U=U(r)$ (в отсутствие симметрии потенциал не существует ввиду неконсервативности силы). Наиболее важная задача — описание характера движения материальной точки массой $m$ в потенциале $U$.

Если центральная сила является притягивающей ($\mathbf {F} \uparrow \downarrow \mathbf {e} _{r}$), то, в зависимости от условий на сохраняющиеся при движении механическую энергию точки $E$ и величину её момента импульса $L$, возможна реализация финитных (с ограниченным диапазоном изменения расстояния $r$ от центра) и инфинитных (таких, что частица из бесконечности приближается к центру с последующим уходом на бесконечность) движений. Если центральная сила отталкивающая ($\mathbf {F} \upuparrows \mathbf {e} _{r}$), движение всегда инфинитно.

Траектория в виде зависимости азимутального угла от радиуса на участке отдаления частицы от центра записывается как

$\varphi (r)=\varphi (r_{min})+\int \limits _{r_{min}}^{r}{\frac {L\,{\tilde {r}}^{-2}d{\tilde {r}}}{\sqrt {2m(E-U({\tilde {r}}))-L^{2}{\tilde {r}}^{-2}}}}$,

где $r_{min}$ — наименьшее расстояние. Наибольшее достигаемое $r$ бывает конечным ($r_{max}$) или бесконечным; и $r_{min}$, и $r_{max}$ соответствуют обращению в нуль подкоренного выражения в знаменателе. Финитное движение может происходить по замкнутым или незамкнутым траекториям; условие замкнутости:

$\Delta \varphi =2\left[\varphi (r_{max})-\varphi (r_{min})\right]=2\pi \cdot \nu$,

где $\nu =n_{1}/n_{2}$ — отношение целых чисел. Для потенциалов определённой формы, конкретно $U(r)\sim r^{-1}$ и $U(r)\sim r^{2}$, все траектории финитного движения являются замкнутыми.

Задача о движении частицы в потенциале $U(r)=-\alpha r^{-1}$ (сила $\mathbf {F} =-\alpha r^{-2}\mathbf {e} _{r}$) называется задачей Кеплера. Чаще рассматривается ситуация притяжения к центру ($\alpha >0$); возможные траектории при этом — окружность, эллипс, парабола, гипербола (во всех случаях с фокусом в силовом центре O) и отрезок прямой (падение частицы на центр). В ситуации же отталкивания от центра ($\alpha <0$) возможны гипербола и луч (частица из бесконечности сближается с центром, а затем, не доходя до него, вдоль той же прямой уходит на бесконечность). Траектория-гипербола в случае притяжения огибает центр, а в случае отталкивания не огибает.

См. также

• Формула Бине (механика)
• Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. колл. Д. М. Алексеев, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов и др. — М.: Сов. энциклопедия, 1983. — 323 с.
• В. К. Иванов Физика: Механика. Колебания. СПб.: Политех-пресс, 2021. – 224 с., см. фрагмент.

Литература

• Поль Аппель, Теоретическая механика. Том 1. Статика. Динамика точки. М.: Физматлит, 1960 .