Цилиндрическая система координат

Цилиндрической системой координат называют трёхмерную систему координат, являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты (обычно обозначаемой $z$), которая задаёт высоту точки над плоскостью.

Точка в цилиндрических координатах.

Точка $P$ даётся как $(\rho ,\;\varphi ,\;z)$. В терминах прямоугольной системы координат:

• $\rho \geqslant 0$ — расстояние от $O$ до $P'$, ортогональной проекции точки $P$ на плоскость $XY$. Или то же самое, что расстояние от $P$ до оси $Z$.
• $0\leqslant \varphi <360^{\circ }$ — угол между осью $X$ и отрезком $OP'$.
• $z$ равна аппликате точки $P$.

При использовании в физических науках и технике международный стандарт ISO 31-11 рекомендует использовать обозначения $(\rho ,\;\varphi ,\;z)$.

Цилиндрические координаты удобны при анализе поверхностей, симметричных относительно какой-либо оси, если ось $Z$ взять в качестве оси симметрии. Например, бесконечно длинный круглый цилиндр (цилиндрическая поверхность) в прямоугольных координатах имеет уравнение $x^{2}+y^{2}=c^{2}$, а в цилиндрических — очень простое уравнение $\rho =c$. Отсюда и идёт для данной системы координат имя «цилиндрическая».

Переход к другим системам координат

2 точки в цилиндрических координатах.

Поскольку цилиндрическая система координат — только одна из многих трёхмерных систем координат, существуют законы преобразования координат между цилиндрической системой координат и другими системами.

Декартова система координат

Основная статья: Прямоугольная система координат

Орты цилиндрической системы координат связаны с декартовыми ортами следующими соотношениями:

${\begin{cases}{\vec {e}}_{\rho }=\cos \varphi {\vec {e}}_{x}+\sin \varphi {\vec {e}}_{y},\\{\vec {e}}_{\varphi }=-\rho \sin \varphi {\vec {e}}_{x}+\rho \cos \varphi {\vec {e}}_{y},\\{\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{z},\end{cases}}$

и образуют правую тройку:

${\begin{cases}{\vec {e}}_{\rho }\times {\vec {e}}_{\varphi }={\vec {e}}_{z},\\{\vec {e}}_{z}\times {\vec {e}}_{\rho }={\vec {e}}_{\varphi },\\{\vec {e}}_{\varphi }\times {\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{\rho }.\end{cases}}$

Обратные соотношения имеют вид:

${\begin{cases}{\vec {e}}_{x}=\cos \varphi {\vec {e}}_{\rho }-\sin \varphi {\vec {e}}_{\varphi },\\{\vec {e}}_{y}=\sin \varphi {\vec {e}}_{\rho }+\cos \varphi {\vec {e}}_{\varphi },\\{\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{z}.\end{cases}}$

Закон преобразования координат от цилиндрических к декартовым:

${\begin{cases}x=\rho \cos \varphi ,\\y=\rho \sin \varphi ,\\z=z.\end{cases}}$

Закон преобразования координат от декартовых к цилиндрическим:

${\begin{cases}\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\\\varphi =\mathrm {arctg} \left({\dfrac {y}{x}}\right),\\z=z.\end{cases}}$

Якобиан равен:

$J=\rho .$

Дифференциальные характеристики

Цилиндрические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:

$g_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\rho ^{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\quad g^{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1/\rho ^{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.$

• Квадрат дифференциала длины кривой

$ds^{2}=d\rho ^{2}+\rho ^{2}\,d\varphi ^{2}+dz^{2}.$

• Коэффициенты Ламэ имеют вид:

$H_{\rho }=1,\quad H_{\varphi }=\rho ,\quad H_{z}=1.$

• Символы Кристоффеля $\{\rho ,\;\varphi ,\;z\}$:

$\Gamma _{22}^{1}=-\rho ,\quad \Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}={\frac {1}{\rho }}.$

Остальные равны нулю.

Дифференциальные операторы

Основная статья: Дифференциальные операторы в различных системах координат

Градиент в цилиндрической системе координат:

$\mathrm {grad} \,\psi ={\vec {e}}_{\rho }{\frac {\partial \psi }{\partial \rho }}+{\vec {e}}_{\varphi }{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \psi }{\partial \varphi }}+{\vec {e}}_{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}.$

Лапласиан в цилиндрической системе координат:

$\Delta \psi ={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial \psi }{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}.$

Дивергенция в цилиндрической системе координат:

$\mathrm {div} \,{\vec {a}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \rho a_{\rho }}{\partial \rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial a_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial a_{z}}{\partial z}}.$

Ротор в цилиндрической системе координат:

$\mathrm {rot} \,{\vec {a}}=\mathrm {det} {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\rho }}{\vec {e}}_{\rho }&{\vec {e}}_{\varphi }&{\frac {1}{\rho }}{\vec {e}}_{z}\\{\frac {\partial }{\partial \rho }}&{\frac {\partial }{\partial \varphi }}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\a_{\rho }&\rho a_{\varphi }&\ a_{z}\end{pmatrix}}={\vec {e}}_{\rho }\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial a_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial a_{\varphi }}{\partial z}}\right)+{\vec {e}}_{\varphi }\left({\frac {\partial a_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial a_{z}}{\partial \rho }}\right)+{\vec {e}}_{z}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \rho a_{\varphi }}{\partial \rho }}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial a_{\rho }}{\partial \varphi }}\right).$

Выражения для радиус-вектора, скорости и ускорения в цилиндрических координатах

$r(t)=\rho {\vec {e}}_{\rho }+z{\vec {e}}_{z}$

${\dot {r}}(t)={\dot {\rho }}{\vec {e}}_{\rho }+\rho {\dot {\varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }+{\dot {z}}{\vec {e}}_{z}$

${\ddot {r}}(t)=({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\varphi }}^{2}){\vec {e}}_{\rho }+(2{\dot {\rho }}{\dot {\varphi }}+{\ddot {\varphi }}\rho ){\vec {e}}_{\varphi }+{\ddot {z}}{\vec {e}}_{z}$

См. также

• Углы Эйлера
• Цилиндрические шахматы

Литература

• Халилов В.Р., Чижов Г.А., Динамика классических систем: Учеб. пособие. — М.: Изд-во МГУ, 1993. — 352 с.