Циркулянт или циркулянтная матрица — это матрица вида

где все  — комплексные числа[1]. Циркулянт можно также кратко описать как [2]. Таким образом, циркулянт — это матрица, в которой любая следующая строка (столбец), начиная с первой (с первого) получается циклической алфавитной перестановкой элементов предыдущей строки (столбца). Любая циркулянтная матрица по определению является тёплицевой.

Также циркулянтом часто называют определитель такой матрицы[3].

Свойства править

Пусть   и   — циркулянтные матрицы. Тогда выполняются следующие свойства[4].

Определитель править

Обозначим   первообразный корень из единицы степени  . Тогда имеет место следующая формула для определителя циркулянта  :

 

Иными словами, собственные числа циркулянта равны дискретному преобразованию Фурье вектора  [3].

Примеры

Для   определитель циркулянта равен:

 

Для  :

 

Связанные определения править

Антициркулянт править

Антициркулянт — это матрица аналогичного вида[5]:

 

Косоциркулянт править

Матрица вида

 

называется  -косоциркулянтом порядка   при  [6].

Очевидно, что циркулянт является  -косоциркулянтом, а антициркулянт —  -косоциркулянтом.

См. также править

Ссылки править

Примечания править

  1. Aldrovandi, 2001, p. 83.
  2. Davis, 1979, p. 66.
  3. 1 2 Aldrovandi, 2001, p. 84.
  4. Bernstein, D. S.. Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas (англ.). — 2nd ed.. — Princeton University Press, 2009. — P. 356. — ISBN 978-0-691-13287-7.
  5. Bini, Pan, 1994, p. 132.
  6. Воеводин, Тыртышников, 1987, с. 47.

Литература править