Эволюта

Эволю́та (от лат. evolutus «развёрнутый») плоской кривой — геометрическое место точек, являющихся центрами кривизны исходной кривой.

Гипербола и для её правой ветви — эволюта, а также окружность, соответствующая кривизне вершины гиперболы

Эволюта — огибающая нормалей, проведённых в каждой точке плоской кривой.

По отношению к своей эволюте любая кривая является эвольвентой.

Уравнения

Если линия задана параметрическими уравнениями $X=x(t),\ Y=y(t)$, то её эволюта имеет уравнение:

$X=x(t)-y'{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{x'y''-x''y'}},$

$Y=y(t)+x'{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{x'y''-x''y'}}$

В частности, если $t$ является натуральным параметром кривой ${\vec {r}}(t)$, то её эволюта может быть задана уравнением:

${\vec {r}}(t)+{\frac {1}{k(t)}}{\vec {n}}(t)$,

где ${\vec {n}}$ — единичный вектор нормали кривой, направленный в сторону центра кривизны, $k$ — кривизна.

Примеры

Вытянутая астроида как эволюта эллипса

Эволюта астроиды

• Вытянутая астроида

$x={\frac {a^{2}-b^{2}}{a}}\cos ^{3}t,\quad y={\frac {b^{2}-a^{2}}{b}}\sin ^{3}t$

является эволютой эллипса

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$.

• Эволюта астроиды подобна ей, но вдвое больше неё и повёрнута относительно неё на 45°.
• Эволюта циклоиды является циклоидой, конгруэнтной исходной и параллельно сдвинутой от исходной так, что вершины переходят в её каспы. Эти свойства открыты Христианом Гюйгенсом; они были им использованы при создании точных механических часов, собственная частота маятника в которых не зависит от амплитуды колебаний.

См. также

• Эвольвента
• Параллельная кривая
• Соприкасающаяся окружность

Литература

• В. Бляшке. Диференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна / М. Я. Выгодский (перевод с немецкого). — М.: ОНТИ, 1935. — 331 с.
• Д. А. Граве. Дифференциальное исчисление // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Эволюта // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 640—641.