Эллиптические функции Вейерштрасса

Эллиптические функции Вейерштрасса — одни из самых простых эллиптических функций. Этот класс функций (зависящих от эллиптической кривой) назван в честь Карла Вейерштрасса. Также их называют $\wp$-функциями Вейерштрасса, и используют для их обозначения символ $\wp$ (стилизованное P).

Определение

Пусть задана эллиптическая кривая $E=\mathbb {C} /\Gamma$, где $\Gamma$ — решётка в $\mathbb {C}$. Тогда $\wp$-функцией Вейерштрасса на ней называется мероморфная функция, заданная как сумма ряда

$\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{w\in \Gamma \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-w)^{2}}}-{\frac {1}{w^{2}}}\right).$

Можно увидеть, что так определённая функция будет $\Gamma$-периодичной на $\mathbb {C}$, и потому является мероморфной функцией на $E$.

Задающий функцию Вейерштрасса ряд является, в определённом смысле, «регуляризованной версией» расходящегося ряда $\sum _{w\in \Gamma }{\frac {1}{(z-w)^{2}}}$ — «наивной» попытки задать $\Gamma$-периодическую функцию. Этот последний абсолютно расходится (а при отсутствии естественного порядка на $\Gamma$ имеет смысл говорить только об абсолютной сходимости) при всех z, поскольку при фиксированном z и при больших w модули его членов ведут себя как${\frac {1}{|w|^{2}}}$, а сумма $\sum _{w\in \Gamma }{\frac {1}{|w|^{2}}}$ по двумерной решётке $\Gamma$ расходится.

Варианты определения

Задавая решётку $\Gamma$ её базисом, $\Gamma =\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \}$, можно записать

$\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}\left({\frac {1}{(z-m\omega _{1}-n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}\right).$

Также, поскольку функция Вейерштрасса как функция трёх переменных однородна, $\wp (az;a\omega _{1},a\omega _{2})=a^{-2}\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})$, обозначив $\tau =\omega _{2}/\omega _{1}$, имеет место равенство

$\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})=\omega _{1}^{-2}\wp (z/\omega _{1};1,\tau ).$

Поэтому рассматривают

$\wp (z;\tau )=\wp (z;1,\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}\left({\frac {1}{(z-m-n\tau )^{2}}}-{\frac {1}{(m+n\tau )^{2}}}\right).$

Свойства

• Функция Вейерштрасса $\wp _{E}:E\mapsto {\widehat {\mathbb {C} }}$ — чётная мероморфная функция на эллиптической кривой E, с единственным полюсом второго порядка в точке 0.
• Как мероморфное отображение степени 2, она задаёт двулистное разветвлённое накрытие сферы Римана тором E. У этого накрытия есть четыре точки ветвления: бесконечность и три критических значения $e_{1},e_{2},e_{3}$. Эти четыре значения являются образами четырёх точек, оставляемых на месте автоморфизмом $z\mapsto -z$ кривой E — точки 0 и трёх полупериодов $\omega _{1}/2,\omega _{2}/2,(\omega _{1}+\omega _{2})/2$. Таким образом, функция Вейерштрасса осуществляет изоморфизм (или, точнее, спускается до изоморфизма) между топологической сферой $E/(z\mapsto -z)$ (наследующей с E комплексную структуру) и сферой Римана ${\widehat {\mathbb {C} }}$.
• Воспользовавшись разложением ${\frac {1}{(w-z)^{2}}}={\frac {1}{w^{2}}}+\sum \nolimits _{j=1}^{\infty }{\frac {j+1}{w^{j+2}}}z^{j}$ и просуммировав по $w\in \Gamma \setminus \{0\}$, можно получить разложение в точке $z=0$ функции Вейерштрасса в ряд Лорана:

$\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=2}^{\infty }(2k+1)G_{2k}(\Gamma )z^{2k-2},$ где $G_{2k}(\Gamma )=\sum _{w\in \Gamma \setminus \{0\}}w^{-2k}$ — ряды Эйзенштейна для решётки $\Gamma$ (соответствующие нечётные суммы равны нулю).

Однако, коэффициенты при $z^{2}$ и $z^{4}$ зачастую записывают в другой, традиционной, нормировке, связанной (см. ниже) с вложением эллиптической кривой в $\mathbb {C} P^{2}$:

$\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{20}}g_{2}(\Gamma )z^{2}+{\frac {1}{28}}g_{3}(\Gamma )z^{4}+\dots ,$

где $g_{2}$ и $g_{3}$ — модулярные инварианты решётки $\Gamma$:

$g_{2}(\Gamma )=60G_{4}(\Gamma ),\quad g_{3}(\Gamma )=140G_{6}(\Gamma ).$

Вложение эллиптических кривых в $\mathbb {C} P^{2}$

Функции Вейерштрасса позволяют построить вложение эллиптической кривой в $\mathbb {C} P^{2}$, предъявив уравнение, которым задаётся образ. Это устанавливает соответствие между «алгебраическим» и «топологическим» взглядами на эллиптическую кривую — позволяя вложить эллиптическую кривую $E=\mathbb {C} /\Gamma$ в $\mathbb {C} P^{2}$ и выписать явно уравнение, задающее образ.

А именно, рассмотрим отображение $F:E\to \mathbb {C} P^{2}$, задаваемое вне точки $z=0$ как $F(z)=(\wp (z),\wp '(z))\in \mathbb {C} ^{2}.$ Поскольку функция $\wp$ мероморфная — это отображение продолжается до голоморфного отображения из $E$ в $\mathbb {C} P^{2}$.

Образ этого отображение может быть явно задан. А именно, единственный полюс как функции $\wp (z)$, так и функции $\wp '(z)$ — это точка $z=0$. Более того, поскольку $\wp (z)$ — чётная функция, $\wp '(z)$ — нечётная, и, соответственно, $(\wp '(z))^{2}$ — чётная. Функция $\wp (z)$ имеет в нуле полюс второго порядка — поэтому полюса $(\wp ')^{2}$ могут быть убраны вычитанием линейной комбинации степеней $\wp$. Явно подбирая коэффициенты из разложений

$\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{20}}g_{2}(\Gamma )z^{2}+{\frac {1}{28}}g_{3}(\Gamma )z^{4}+\dots ,$

$(\wp '_{E}(z))^{2}=\left(-{\frac {2}{z^{3}}}+{\frac {1}{10}}g_{2}(\Gamma )z+{\frac {1}{7}}g_{3}(\Gamma )z^{3}+\dots \right)^{2}={\frac {4}{z^{6}}}-{\frac {2}{5}}g_{2}(\Gamma ){\frac {1}{z^{2}}}-{\frac {4}{7}}g_{3}(\Gamma )+\dots ,$

видим, что разница

$\varphi (z)=(\wp _{E}'(z))^{2}-4\wp _{E}^{3}(z)+g_{2}(E)\wp (z)$

в точке $z=0$ неособая. Но $\varphi (z)$ голоморфна и вне $z=0$ (в силу голоморфности $\wp$ и $\wp '$), поэтому $\varphi (z)$ — голоморфная на всей компактной римановой поверхности $E$ функция. В силу принципа максимума $\varphi (z)$ — константа. Наконец, из всё того же разложения в нуле находим её значение — оно оказывается равным $-g_{3}(E)$. Окончательно, функция $(\wp '(z))^{2}-4\wp ^{3}(z)+g_{2}(E)\wp (z)+g_{3}(E)$ обращается на $E$ в тождественный нуль. Тем самым, образ отображения $F$ это эллиптическая кривая в $\mathbb {C} P^{2}$, задаваемая уравнением

$y^{2}=4x^{3}-g_{2}(E)x-g_{3}(E).$

Собственно говоря, именно с этим связаны «исторические» коэффициенты 60 и 140, связывающие модулярные инварианты $g_{2}$ и $g_{3}$ с соответствующими суммами обратных степеней $G_{2}(E)$ и $G_{3}(E)$: благодаря такому традиционному выбору нормировки, в уравнении на кривую $g_{2}$ и $g_{3}$ — это в точности коэффициент при $x$ и свободный член.

Голоморфные формы, решётки периодов и обратное отображение

Для эллиптической кривой $E$ задающая её решётка $\Gamma$ не является однозначно заданной: она определена с точностью до пропорциональности. Однако, решётка взаимно-однозначно соответствует паре $(E,\omega )$, где $\omega$ — ненулевая голоморфная 1-форма на $E$: в качестве $\omega$ можно взять проекцию на $E$ формы $dz$ на $\mathbb {C}$, тогда $\Gamma$ восстанавливается как набор всевозможных интегралов $\omega$ по петлям на торе $E$:

$\Gamma =\left\{\int _{\gamma }\omega \mid \gamma \in H_{1}(E)\right\}$

На эллиптической кривой $y^{2}=4x^{3}+g_{2}(E)x+g_{3}(E)$, являющейся образом отображения $F=(\wp _{E},\wp '_{E})$, имеется голоморфная форма $\omega ={\frac {dx}{y}}$. Несложно видеть, что она является в точности образом формы $dz$ на $E$ при отображении $F$. Это позволяет прийти сразу к нескольким выводам:

• Обратное отображение к отображению $F$ ищется как интеграл формы $\omega$:

$z(x,y)=\int _{\infty }^{(x,y)}{\frac {dx}{y}},$

где интегрирование производится по пути, лежащему на эллиптической кривой $F(E)$. Бесконечно удалённая точка на кривой $F(E)$ при этом выбрана как начало пути интегрирования, поскольку является F-образом точки $z=0$, а изменение выбора пути на другой приводит к изменению результата на элемент решётки периодов $\Gamma$.

• Обратное отображение к функции Вейерштрасса задаётся как

$\wp _{E}^{-1}(x)=\int _{\infty }^{x}{\frac {dx}{\pm {\sqrt {4x^{3}+g_{2}(E)x+g_{3}(E)}}}}.$

(выбор знака соответствует выбору одного из двух прообразов на эллиптической кривой, а изменение пути интегрирования приводит к сдвигу вычисленного прообраза на элемент $\Gamma$).

• Решётка $\Gamma$ восстанавливается как множество интегралов формы ${\frac {dx}{y}}$ по всевозможным замкнутым путям на эллиптической кривой $y^{2}=4x^{3}+g_{2}(E)x+g_{3}(E)$.

Сложение точек на эллиптической кривой

Эллиптическая кривая является (или, точнее, может быть сделана) абелевой группой по сложению. Для «алгебраического» представления $E=\mathbb {C} /\Gamma$ это просто сложение точек $\mathbb {C}$. Для «геометрического» — как вложенной в $\mathbb {C} P^{2}$ кривой $y^{2}=4x^{3}+px+q$ — это сложение задаётся выбором в качестве нуля бесконечно удалённой точки и правилом «три точки, лежащие на одной прямой, в сумме дают ноль».

Естественно ожидать, что построенное по функции Вейерштрасса отображение $F=(\wp (z),\wp '(z))$ переводит заданное алгебраически сложение в заданное геометрически — что и имеет место. Этому (поскольку коллинеарность трёх точек задаётся обращением в ноль определителя) соответствует следующее соотношение:

$\det {\begin{bmatrix}\wp (u)&\wp '(u)&1\\\wp (v)&\wp '(v)&1\\\wp (w)&\wp '(w)&1\end{bmatrix}}=0$

для любых $u+v+w=0$. Также, ввиду чётности $\wp$ и нечётности $\wp '$, оно может быть записано как

$\det {\begin{bmatrix}\wp (z)&\wp '(z)&1\\\wp (w)&\wp '(w)&1\\\wp (z+w)&-\wp '(z+w)&1\end{bmatrix}}=0$

Применение в голоморфной динамике

С помощью $\wp$-функции Вейерштрасса строится пример Латтэ — пример рационального отображения сферы Римана в себя, множество Фату которого пусто (и, тем самым, динамика которого везде хаотична). А именно, взяв $\Gamma =\mathbb {Z} [i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb {Z} \}$, можно рассмотреть отображение $D$ удвоение на торе $E=\mathbb {C} /\Gamma$:

$D(z)=2z\,\mod \mathbb {Z} [i].$

Это отображение хаотично везде — сколь угодно маленькая окрестность через конечное число итераций покрывает весь тор.

С другой стороны — отображение $D$ корректно спускается на фактор $S^{2}=E/(z\sim -z)$. Поэтому отображение D отображением $\wp$ полусопряжено некоторому рациональному отображению $R:\mathbb {C} P^{1}\to \mathbb {C} P^{1}$:

$\wp \circ D=R\circ \wp .$

Иными словами,

$R(z)=\wp (2\wp ^{-1}(z)).$

Для такого отображения $R$ образы малых окрестностей также через конечное число итераций закрывают всю сферу Римана. Поэтому множество Жюлиа $J(R)=\mathbb {C} P^{1}$, а множество Фату, соответственно, пусто.

Наконец, несложно видеть, что степень отображения $R$ равна четырём (поскольку отображение $z\mapsto 2z$ на торе имеет степень 4), и его коэффициенты $R$ можно найти явно, вычислив достаточное число коэффициентов ряда Тейлора $R$ в нуле через ряд Лорана для $\wp$ (и, соответственно, для $\wp ^{-1}$).

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Weierstrass Elliptic Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

• J. Hubbard, I. Pourezza, The space of closed subgroups of $\mathbb {R} ^{2}$, Topology 18 (1979), no. 2, p. 143—146.
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного.
• A. F. Beardon, Iteration of Rational Functions: Complex Analytic Dynamical Systems, Springer-Verlag, Berlin, New York, Heidelberg, 2009, ISBN 0-387-95151-2