Ядро Фейера

Ядро Фейера — функция, применяющаяся для суммирования по Чезаро рядов Фурье или преобразований Фурье, задаваемая формулой:

$\Phi _{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}D_{k}(x)$,

где $D_{k}(x)$ — ядро Дирихле. В сокращённой форме:

$\Phi _{n}(x)={\frac {1}{2(n+1)}}{\frac {\sin ^{2}{\frac {n+1}{2}}x}{\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}$.

Названо в честь венгерского математика Липота Фейера.

Если $f(x)$ — интегрируемая на $[-\pi ,\pi ]$ и $2\pi$-периодическая функция, то:

$\forall x\in \mathbb {R} ~\forall n\in \mathbb {N} \;\;\sigma _{n}(f;x)=\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x-u)\Phi _{n}(u)du=\int \limits _{0}^{\pi }(f(x-u)+f(x+u))\Phi _{n}(u)du$.

Теорема Фейера: если $f(x)$ — непрерывная $2\pi$-периодическая функция, $S_{k}(x)$ — частичные суммы ряда Фурье этой функции, а $\sigma _{n}(x)$ — среднее арифметическое этих частичных сумм — $\sigma _{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\sum \limits _{k=0}^{n}{S_{k}(x)}$ (называемое также суммой Фейера порядка $n$), то $\sigma _{n}(x)$ равномерно сходится к $f(x)$.

Если $\Phi _{n}(x)$ — положительная $2\pi$-периодическая чётная функция, то выполнены следующие утверждения:

• $\forall n\in \mathbb {N} ~\int \limits _{-\pi }^{\pi }\Phi _{n}(u)du={\pi }$;
• $\int \limits _{\delta }^{\pi }\Phi _{n}(u)du\rightarrow 0,\int \limits _{-\pi }^{-\delta }\Phi _{n}(u)du\rightarrow 0,n\rightarrow \infty$ для любого фиксированного $\delta >0$.

Ядро Фейера для интеграла Фурье:

$F_{n}(x)={\frac {2}{\pi n}}{\frac {\sin ^{2}{\frac {n}{2}}x}{x^{2}}}$

Свойства ядра Фейера для интеграла Фурье:

• $F_{n}(x)\geqslant 0$;
• $\int _{-\infty }^{\infty }F_{n}(x)dx=1$;
• $\int _{|x|\geqslant \delta }F_{n}(x)dx\rightarrow 0$ для любого фиксированного $\delta >0$ при $n\rightarrow \infty$.

Литература

• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.
• Фейера метод суммирования — статья из Математической энциклопедии