Теорема Шаля о классификации движений

Теорема Шаля классифицирует все изометрические преобразования (движения) плоскости.

Названа в честь Мишеля Шаля. Также теоремой Шаля называют некоторые другие утверждения в физике.

Формулировки

Плоскость

Всякое сохраняющее ориентацию движение плоскости представляет собой либо поворот (в частности, центральную симметрию, а также тождественное отображение), либо параллельный перенос.

Всякое меняющее ориентацию движение плоскости является осевой или скользящей симметрией.

Пространство

Всякое сохраняющее ориентацию движение пространства является скользящим поворотом.

Всякое меняющее ориентацию движение пространства является композицией зеркальной симметрии и скользящего поворота.

Доказательство

Основные идеи доказательства:

• Любое движение однозначно задается тремя различными точками и их образами.
• Любое движение представимо в виде композиции не более чем трёх осевых симметрий.
• Перебор вариантов: движение представимо в виде композиции одной, двух или трёх осевых симметрий.

Лемма о трёх гвоздях

Любое движение однозначно задается тремя не лежащими на одной прямой точками и их образами. Другими словами, для любых не лежащих на одной прямой точек $A,B,C$ и их образов $A',B',C'$ существует единственное движение $f:A\mapsto A',B\mapsto B',C\mapsto C'$

Доказательство

Возьмем любую точку$D\neq A,B,C$ и ее образ $D'$. $f$ — движение, а значит $AD=A'D'$; из чего следует, что $D'$ лежит на окружности с центром в $A'$ и радиусом $AD$.

Аналогичное рассуждение для точек $B$ и $C$ показывает, что $D'$ также лежит на окружности с центром в $B'$ и радиусом $BD$ и на окружности с центром в $C'$ и радиусом $CD$.

Так как три окружности,центры которых не лежат на одной прямой, могут пересекаться только в одной точке, то существует единственный образ $D'$ для любой точки $D$. Это утверждение равносильно единственности движения.

Лемма о трёх симметриях

Любое движение представимо в виде композиции не более чем трёх осевых симметрий. Другими словами, любое движение $f$ представимо или как $S_{l}$ или как $S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}$ или как $S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}\circ S_{l_{3}}$.

Доказательство

Возьмем произвольное движение $f$ и точки $A,B,C$ с их образами $A',B',C'$. Если мы докажем, что для $A,B,C$ существует композиция симметрий $g$ эквивалентная $f$, то по лемме о трёх гвоздях $f=g$ в общем случае.

Заметим что $S_{l_{i}}\circ \cdots \circ S_{l_{1}}\circ f=id\Leftrightarrow f=S_{l_{1}}\circ \cdots \circ S_{l_{i}}$, так как $S_{l}^{-1}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}S_{l}$ и $(f\circ g)^{-1}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}g^{-1}\circ f^{-1}$

Найдем представление $f$ в виде композиции осевых симметрий:

1. Рассмотрим симметрию $S_{l_{1}}$, такую что $A\mapsto A'$. Точка $B$ при такой симметрии перейдет или в некоторую новую точку $B'_{1}$ или обратно в $B'$. Точка $C$ аналогично перейдет или в некоторую $C'_{1}$ или обратно в $C'$. Если $B$ и $C$ вернулись в $B'$ и $C'$, то $S_{l_{1}}\circ f=id$, где $id$ — тождественное преобразование. В таком случае $f=S_{l_{1}}$.
2. Теперь, если точка $B\mapsto B'_{1}$, то рассмотрим симметрию $S_{l_{2}}$, такую что $B'_{1}\mapsto B'$. Заметим, что $l_{2}$ — серединный перпендикуляр к отрезку $B'B'_{1}$, по определению осевой симметрии.

$f$, $S_{l_{1}}$ — движения, а значит $AB{\overset {\underset {\mathrm {f} }{}}{=}}A'B'~{\text{и}}~AB{\overset {\underset {\mathrm {S_{l_{1}}} }{}}{=}}A'B'_{1}$. Следовательно, $A'$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $B'B'_{1}$ (по свойству серединного перпендикуляра), то есть на прямой $l_{2}$. Отсюда следует, что при преобразовании $S_{l_{2}}$—$A'\mapsto A'$. Если $C'\mapsto C$, то аналогично $CB=^{f}C'B'=^{S_{l_{1}}}CB'_{1}$, то есть при $S_{l_{2}}$$C$ перейдет в $C'$. Иначе $C\mapsto C'_{1}$, значит $C'_{1}$ снова перейдет или в некоторую $C'_{2}$ или в $C'$. Итого, если или $C'_{1}\mapsto C'$ при $S_{l_{2}}$; или $C\mapsto C'$ при $S_{l_{1}}$, то $S_{l_{2}}\circ S_{l_{1}}\circ f=id$. Это значит, что $f=S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}$.

1. Если $C\mapsto C'_{1}\mapsto C'_{2}$, рассмотрим симметрию $S_{l_{3}}$, такую что $C'_{2}\mapsto C'$.

Очевидно, что $l_{3}$ — серединный перпендикуляр к отрезку $C'C'_{2}$. $f$, $S_{l_{1}}$, $S_{l_{2}}$ — движения, а значит $AC{\overset {\underset {\mathrm {f} }{}}{=}}A'C'{\overset {\underset {\mathrm {S_{l_{1}}} }{}}{=}}A'C'_{1}{\overset {\underset {\mathrm {S_{l_{2}}} }{}}{=}}A'C'_{2}$. Следовательно, $A'$ принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку $C'C'_{2}$, то есть $l_{3}$. Это значит, что $S_{l_{3}}$ переводит $A'$ в $A'$. Если $B\mapsto B'$, то аналогично $B'\in l_{3}$. Иначе, $B\mapsto B'_{1}\mapsto B'$, следовательно $BC{\overset {\underset {\mathrm {f} }{}}{=}}B'C'{\overset {\underset {\mathrm {S_{l_{1}}} }{}}{=}}B'_{1}C'_{1}{\overset {\underset {\mathrm {S_{l_{2}}} }{}}{=}}B'C'_{2}$ и $B'$ тоже лежит на $l_{3}$.Это значит, что $S_{l_{3}}$ переводит $B'$ в $B'$. Следовательно, $S_{l_{3}}\circ S_{l_{2}}\circ S_{l_{1}}\circ f=id$, а значит, $f=S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}\circ S_{l_{3}}$.

Перебор вариантов

Теперь каждое данное движение $f$ представим в виде композиции не более трёх симметрий по лемме о трёх симметриях.

Классифицируем получившееся равенство, тем самым классифицировав любое данное движение:

1. Если $f=S_{l}$, то $f$ — осевая симметрия.
2. Если $f=S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}$, то либо $l_{1}\parallel l_{2}$ и тогда $f$ — параллельный перенос, либо $l_{1}\nparallel l_{2}$ и тогда $f$ — поворот.
3. Иначе, $f=S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}\circ S_{l_{3}}$ и тогда $f$ — скользящая симметрия (по свойству скользящей симметрии).

Приложения

• Теорема Ельмслева о серединах

Источники

• Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 228-229. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3.
• Теорема Шаля в задачах
• Теоремы о композиции движений