Редактирование: Матрица перехода

{{викифицировать}}
В [[Линейная алгебра|линейной алгебре]] '''[[базис]] [[Векторное пространство|векторного пространства]]''' размерности <math> n </math> — это последовательность из <math> n </math> [[Вектор (геометрия)|векторов]] <math>(\alpha_1, ..., \alpha_n)</math>, таких, что любой вектор пространства может быть представлен единственным образом в виде [[Линейная комбинация|линейной комбинации]] базисных векторов. При заданном базисе [[Оператор (математика)|операторы]] представляются в виде квадратных [[Матрица (математика)|матриц]]. Так как часто необходимо работать с несколькими базисами в одном и том же векторном пространстве, необходимо иметь правило перевода координат векторов и операторов из базиса в базис. Такой переход осуществляется с помощью '''матрицы перехода'''.

== Определение ==
Если векторы <math>\mathbf{b_1},\cdots,\mathbf{b_n}</math> выражаются через векторы <math>\mathbf{a_1},\cdots,\mathbf{a_n}</math> как:
:<math>\mathbf{b}_1 = \alpha_{11}\mathbf{a}_1 + \alpha_{21}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{n1}\mathbf{a}_n  </math>.
:<math>\mathbf{b}_2 = \alpha_{12}\mathbf{a}_1 + \alpha_{22}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{n2}\mathbf{a}_n  </math>.
: <math>\ldots</math>.
:<math>\mathbf{b}_n = \alpha_{1n}\mathbf{a}_1 + \alpha_{2n}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{nn}\mathbf{a}_n  </math>.
то матрица перехода от базиса <math>(\mathbf{a_1},\cdots,\mathbf{a_n})</math> к базису <math>(\mathbf{b_1},\cdots,\mathbf{b_n}</math>) будет:

:<math> \begin{pmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12}&... & \alpha_{1n}  \\ \alpha_{21} & \alpha_{22}&... & \alpha_{2n}  \\  ...&...&...&... \\\alpha_{n1} & \alpha_{n2}&... & \alpha_{nn} \end{pmatrix}</math>

== Использование ==
При умножении матрицы, [[Обратная матрица|обратной]] к матрице перехода, на столбец, составленный из коэффициентов разложения вектора по [[базис]]у <math>a_1, a_2, \ldots, a_n</math>, мы получаем тот же вектор, выраженный через [[базис]] <math>b_1, b_2, \ldots, b_n</math>.

=== Пример ===
Для того, чтобы повернуть вектор на угол θ против часовой стрелки, можно умножить [[матрица поворота|матрицу поворота]] на него:

: <math>
\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta &  -\sin\theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}
</math>

{| class="wikitable" border="1"
!class="bright" colspan="5"|Матрицы наиболее распространённых преобразований
|-
! || В двумерных координатах || В [[Однородные координаты|однородных]] двумерных координатах
!colspan="2"| В однородных трёхмерных координатах
|-
! Масштабирование

При ''a'', ''b'' и ''c'' — коэффициенты масштабирования соответственно по осям ''OX'', ''OY'' и ''OZ'':
||
: <math>
\begin{bmatrix}
a&0 \\
0&b\end{bmatrix}
</math>
||
: <math>
\begin{bmatrix}
a&0&0 \\
0&b&0 \\
0&0&1\end{bmatrix}
</math>
|colspan="2"|
: <math>
\begin{bmatrix}
a&0&0&0 \\
0&b&0&0 \\
0&0&c&0 \\
0&0&0&1\end{bmatrix}
</math>
|-
!rowspan="2"| Поворот

При φ — угол поворота изображения в двухмерном пространстве
||
По часовой стрелке
: <math>
\begin{bmatrix}
 \cos \phi & \sin \phi \\
-\sin \phi & \cos \phi \end{bmatrix}
</math>
|rowspan="2"|
: <math>
\begin{bmatrix}
 \cos\phi & \sin\phi & 0 \\
-\sin\phi & \cos\phi & 0 \\
          0 &      0 & 1 \end{bmatrix}
</math>
||
<!-- В однородных трёхмерных координатах возможны повороты относительно осей OX, OY и OZ:-->
Относительно ''OX'' на угол φ
:<math>
\begin{bmatrix}
     1 &       0 & 0      & 0 \\
     0 & \cos\phi&-\sin\phi& 0 \\
     0 &\sin\phi&\cos\phi& 0 \\
     0 &       0 &      0 & 1 \end{bmatrix}
</math>
||
Относительно ''OY'' на угол ψ
: <math>
\begin{bmatrix}
 \cos\psi& 0 &\sin\psi& 0 \\
       0 & 1 &      0 & 0 \\
-\sin\psi& 0 &\cos\psi& 0 \\
       0 & 0 &      0 & 1 \end{bmatrix}
</math>
|-
||
Против часовой стрелки
: <math>
\begin{bmatrix}
 \cos \phi &-\sin \phi \\
 \sin \phi & \cos \phi \end{bmatrix}
</math>
|colspan="2"|
Относительно ''OZ'' на угол χ
:<math>
\begin{bmatrix}
 \cos \chi &-\sin \chi & 0 & 0 \\
\sin \chi &\cos \chi & 0 & 0 \\
       0 &      0 & 1 & 0 \\
       0 &      0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
</math>
|-
! Перемещение

При ''a'', ''b'' и ''c'' — смещение соответственно по осям ''OX'', ''OY'' и ''OZ''.
||
В неоднородных координатах не имеет матричного представления.
||
: <math>
\begin{bmatrix}
 1 & 0 & a \\
 0 & 1 & b \\
 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
</math>
|colspan="2"|
: <math>
\begin{bmatrix}
 1 & 0 & 0 & a \\
 0 & 1 & 0 & b \\
 0 & 0 & 1 & c \\
 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
</math>
|}

== Свойства ==
* ''Матрица перехода'' является [[невырожденная матрица|невырожденной]]. То есть [[определитель]] этой матрицы не равен нулю.
* <math>P_{e \rightarrow e'}^{-1} = P_{e' \rightarrow e}</math>

== Пример поиска матрицы ==
Найдём ''матрицу перехода'' от [[базис]]а <math>a_{1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix},a_{2}=\begin{pmatrix} -1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix},a_{3}=\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> к единичному базису <math>b_{1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},b_{2}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},b_{3}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math>
путём [[Элементарные преобразования матрицы|элементарных преобразований]]

<math> \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & 5 & 1&0 &0 \\ 2 & -4 & 1& 0&1&0  \\ -1 & 2 & 0 & 0&0&1  \end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 2&-10 &-19 \\ 0 & 1 & 0& 1&-5&-9  \\ 0 & 0 & 1 & 0&1&2\end{array}\right)</math>
следовательно
<math>P_{a \rightarrow b}=\begin{pmatrix}2&-10 &-19 \\  1&-5&-9  \\ 0&1&2  \end{pmatrix}</math>

== См. также ==
* [[Цепи Маркова]]
* [[Стохастическая матрица]]
* [[Матрица поворота]]

== Ссылки ==

* [https://web.archive.org/web/20050120105613/http://exponenta.ru/educat/class/test/showitem/?item=62 Матрицы перехода от базиса к базису]


{{math-stub}}
{{rq|source|topic=math}}

[[Категория:Типы матриц]]
[[Категория:Линейная алгебра]]