Открыть главное меню

А́белева (или коммутати́вная) гру́ппа — группа, в которой групповая операция является коммутативной; иначе говоря, группа абелева, если для любых двух элементов .

Обычно для обозначения групповой операции в абелевой группе используется аддитивная запись, то есть групповая операция обозначается знаком и называется сложением[1].

Название дано в честь норвежского математика Нильса Абеля.

ПримерыПравить

  • Группа параллельных переносов в линейном пространстве.
  • Любая циклическая группа   абелева. Действительно, для любых   и   верно, что
     .
    • В частности, множество   целых чисел есть коммутативная группа по сложению; это же верно и для классов вычетов  
  • Любое кольцо является коммутативной (абелевой) группой по своему сложению; примером может служить поле   вещественных чисел с операцией сложения чисел.
  • Обратимые элементы коммутативного кольца (в частности, ненулевые элементы любого поля) образуют абелеву группу по умножению. Например, абелевой группой является множество ненулевых вещественных чисел с операцией умножения.

Связанные определенияПравить

СвойстваПравить

  • Конечно порождённые абелевы группы изоморфны прямым суммам циклических групп.
    • Конечные абелевы группы изоморфны прямым суммам конечных циклических групп.
  • Любая абелева группа имеет естественную структуру модуля над кольцом целых чисел. Действительно, пусть   — натуральное число, а   — элемент коммутативной группы   с операцией, обозначаемой +, тогда   можно определить как   (  раз) и  .
  • Множество гомоморфизмов   всех групповых гомоморфизмов из   в   само является абелевой группой. Действительно, пусть   — два гомоморфизма групп между абелевыми группами, тогда их сумма  , заданная как  , тоже является гомоморфизмом (это неверно, если   не является коммутативной группой).
  • Понятие абелевости тесно связано с понятием центра   группы   — множества, состоящего из тех её элементов, которые коммутируют с каждым элементом группы  , и играющего роль своеобразной «меры абелевости». Группа абелева тогда и только тогда, когда её центр совпадает со всей группой.

Конечные абелевы группыПравить

Основополагающая теорема о структуре конечной абелевой группы утверждает, что любая конечная абелева группа может быть разложена в прямую сумму своих циклических подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка.   изоморфно прямой сумме   и   тогда и только тогда, когда   и   взаимно просты.

Следовательно, можно записать абелеву группу   в форме прямой суммы

 

двумя различными способами:

  • Где числа   степени простых
  • Где   делит  , которое делит  , и так далее до  .

Например,   может быть разложено в прямую сумму двух циклических подгрупп порядков 3 и 5:  . То же можно сказать про любую абелеву группу порядка пятнадцать; в результате приходим к выводу, что все абелевы группы порядка 15 изоморфны.

Вариации и обобщенияПравить

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Абелева группа — статья из Математической энциклопедии. Ю. Л. Ершов

ЛитератураПравить

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7..
  • Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. — Мир, 1974.