Абсолютная непрерывность

Абсолютная непрерывность — в математическом анализе свойство функций и мер, состоящее, неформально говоря, в выполнении теоремы Ньютона — Лейбница о связи между интегрированием и дифференцированием. Обычно эта теорема формулируется в терминах интеграла Римана и включает в свои условия интегрируемость производной по Риману. При переходе к более общему интегралу Лебега естественное требование существования измеримой производной почти всюду становится слишком слабым, и для выполнения соотношения, аналогичного теореме Ньютона — Лейбница, необходимо более тонкое условие, которое и называется абсолютной непрерывностью. Это понятие переносится на меры с помощью производной Радона — Никодима.

Абсолютно непрерывные функцииПравить

Функция   называется абсолю́тно непреры́вной фу́нкцией на конечном или бесконечном отрезке, если для любого   найдётся такое  , что для любого конечного набора попарно непересекающихся интервалов   области определения функции  , который удовлетворяет условию  , выполнено неравенство  [1].

Абсолютно непрерывная на отрезке функция является равномерно непрерывной, и, следовательно, непрерывной. Обратное неверно.

СвойстваПравить

  • Произведение абсолютно непрерывных на отрезке конечной длины функций даёт абсолютно непрерывную функцию.
  • Каждая абсолютно непрерывная функция представима в виде разности двух неубывающих абсолютно непрерывных функций.
  • Пусть   абсолютно непрерывная функция на  . Тогда она почти всюду дифференцируема; обобщённая производная   интегрируема по Лебегу и для всех   выполняется равенство:
     .
  • Если функция   абсолютно непрерывна на отрезке   и   абсолютно непрерывна на отрезке, содержащем все значения  , то для того, чтобы суперпозиция   была абсолютно непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы она была функцией с ограниченной вариацией (теорема Фихтенгольца).

ПримерыПравить

Следующие функции являются непрерывными, но не абсолютно непрерывными
 
на конечных интервалах, содержащих 0;
  • функция   на неограниченных интервалах.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Богачёв, В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2009. — С. 188. — 724 с. — ISBN 978-5-93972-742-6.

ЛитератураПравить