Адиабатический инвариант — физическая величина, которая не меняется при плавном изменении некоторых параметров физической системы — таком, что характерное время этого изменения гораздо больше характерного времени процессов, происходящих в самой системе[1].

Возникновение термина править

Адиабатический процесс первоначально означал процесс без теплообмена с окружающей средой. Название возникло от термина «адиабатическая оболочка»(др.-греч. ἀδιάβατος — «непроходимый») — оболочка, не пропускающая тепло.

Но в середине XX века некоторые учёные (в частности, Л. Д. Ландау) стали так называть процесс, проходящий через практически равновесные состояния, то есть достаточно медленно и плавно. Сейчас такой процесс называют квазистатическим или равновесным. Исторически название «адиабатический инвариант» появилось по аналогии с таким термодинамическим процессом.

В настоящее время слово «адиабатический» снова используется в первоначальном значении («процесс без теплообмена со средой»), но термин «адиабатический инвариант» уже устоялся.

Классическая механика править

В классической механической системе, которая осуществляет периодическое движение с периодом   и зависит от параметра  , адиабатичность изменения параметра определяется условием

 .

Функция Гамильтона системы зависит от её внутренних переменных и параметра

 

Внутренние переменные   и   меняются со временем быстро, с периодом  . Но энергия системы   является интегралом движения при неизменном параметре  . При изменении параметра во времени

 .

При усреднении этого выражения по времени в течение периода можно считать, что параметр   неизменен.

 ,

где усреднение определено как

 .

Удобно перейти от интегрирования по времени к интегрированию по переменной  :

 .

В таком случае период   равен

 ,

где интегрирование проводится вперёд и назад в пределах изменения координаты за период движения.

Записывая импульс как функцию энергии  , координаты   и параметра, после некоторых преобразований можно получить

 .

Окончательно можно записать

 ,

где величина

 

и будет адиабатическим инвариантом.

Интеграл, входящий в полученное выражение, приобретает простой геометрический смысл, если обратиться к представлению о фазовом пространстве и фазовой траектории системы в нём. В рассматриваемом случае система имеет одну степень свободы, поэтому фазовое пространство представляет собой фазовую плоскость, образуемую множеством точек с координатами   и  . Поскольку система совершает периодическое движение, то её фазовая траектория[2] является замкнутой кривой на этой плоскости, соответственно, интеграл берётся вдоль этой замкнутой кривой. В итоге следует, что интеграл   равен площади фигуры, ограниченной фазовой траекторией системы.

Площадь можно выразить и в виде двумерного интеграла, тогда для адиабатического инварианта будет выполняться

 .

Пример. Гармонический осциллятор править

Рассмотрим в качестве примера одномерный гармонический осциллятор. Функция Гамильтона такого осциллятора имеет вид

 ,

где   — собственная (циклическая) частота осциллятора. Уравнение фазовой траектории в данном случае определяется законом сохранения энергии   и поэтому имеет вид

 .

Из уравнения видно, что траектория представляет собой эллипс с полуосями   и  , соответственно его площадь, делённая на  , равна  . Таким образом, величина   является адиабатическим инвариантом для гармонического осциллятора. Отсюда следует, что в тех случаях, когда параметры осциллятора изменяются медленно, его энергия изменяется пропорционально частоте.

Свойства адиабатического инварианта править

Производная от адиабатического инварианта по энергии равна периоду, разделённому на  .

 ,

или

 ,

где   — циклическая частота.

С помощью канонических преобразований можно сделать адиабатический инвариант новой переменной, которая называется переменной действия. В новой системе переменных она играет роль импульса. Канонически сопряженная к ней переменная называется угловой переменной.

Примечания править

  1. Дыхне А. М. Адиабатические инварианты // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1. Ааронова—Бома эффект — Длинные линии. — С. 26. — 704 с. — 100 000 экз.
  2. Фазовая траектория — совокупность точек с координатами, равными значениям, которые принимают величины   и   в процессе движения системы.

Литература править

  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — Издание 4-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 199—202. — 215 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-02-013850-9.
  • Котельников И. А. Лекции по физике плазмы. Том 1: Основы физики плазмы. — 3-е изд. — СПб.: Лань, 2021. — 400 с. — ISBN 978-5-8114-6958-1.