Аксиома объёмности

Аксиомой объёмности называется следующее высказывание теории множеств:

Если переписать аксиому объёмности в виде

,

тогда названную аксиому можно сформулировать следующим образом:

«Каковы бы ни были два множества, если каждый элемент 1-го множества принадлежит 2-му множеству, а каждый элемент 2-го множества принадлежит 1-му множеству, тогда первое множество идентично второму множеству.»

Другая формулировка[1]:

«Два множества равны в том и только в том случае, когда они состоят из одних и тех же элементов.»

Другие формулировки аксиомы объёмностиПравить

 

 

ПримечанияПравить

Аксиома объёмности выражает необходимое условие равенства двух множеств. Достаточное условие равенства множеств выводится из аксиом предиката  , а именно:

 ,
 , где   — любое математически корректное суждение об  , а   — то же самое суждение, но об  .

Соединяя указанное достаточное условие равенства множеств с аксиомой объёмности, получаем следующий критерий равенства множеств:

 

Указанный критерий равенства множеств не хуже и не лучше других аналогичных критериев, включая:

1) критерий равенства комплексных чисел

 ,

2) критерий равенства упорядоченных пар

 ,

3) критерий равенства неупорядоченных пар

 ,

4) критерий равенства двух последовательностей

 .

Из изложенного ясно, что аксиома объёмности является органичной частью аксиоматики теории множеств.

Аксиому объёмности применяют при доказательстве единственности множества, существование которого уже декларировано [аксиомой] либо установлено [доказательством теоремы].

Примеры

1. Доказательство единственности пустого множества

Существование [по меньшей мере одного] пустого множества декларировано аксиомой

 .

Требуется доказать существование не более, чем одного множества  , для которого верно высказывание

 .

Иначе говоря, требуется доказать

 

Или, что то же самое, требуется доказать

 

Доказательство

 

Поскольку  , постольку доказательство единственности пустого множества завершено.

2. Доказательство единственности множества подмножеств

Существование [по меньшей мере одного] множества подмножеств декларировано аксиомой

 

Требуется доказать существование не более, чем одного множества  , для которого верно высказывание

 

Иначе говоря, требуется доказать

 

Или, что то же самое, требуется доказать

 

Доказательство

 

Поскольку  , постольку доказательство единственности множества подмножеств завершено.


См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Столл Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. - М., Просвещение, 1968. - Тираж 70 000 экз. - С. 13

ЛитератураПравить