Открыть главное меню

Аксиома счётного выбора

Пусть каждое из множеств непусто. Аксиома счётного выбора утверждает, что можно взять по одному элементу из каждого множества и выстроить их в последовательность

Аксиома счётного выбора — аксиома теории множеств, обычно обозначаемая Аксиома утверждает, что для любого счётного семейства непустых множеств существует «функция выбора», извлекающая из каждого множества один и только один его элемент. Другими словами, для последовательности непустых множеств можно построить последовательность их представителей при этом множества могут быть бесконечными и даже несчётными[1].

Место аксиомы в математикеПравить

Аксиома счётного выбора  представляет собой ограниченный вариант полной аксиомы выбора ( ), в отличие от последней она утверждает существование функции выбора только для счётного семейства множеств. Как доказал Пол Коэн, аксиома счётного выбора независима от других аксиом теории множеств (без аксиомы выбора)[2]. В отличие от полной аксиомы выбора, аксиома счётного выбора не приводит к парадоксу удвоения шара или иным противоречащим интуиции следствиям.

Аксиома счётного выбора достаточна для обоснования основных теорем анализа. Из неё следует, в частности[3]:

  • для любой предельной точки существует сходящаяся к ней последовательность;
  • мера Лебега счётно-аддитивна;
  • всякое бесконечное множество содержит счётное подмножество.

Однако значительная часть утверждений теории множеств не может быть доказана с помощью аксиомы счётного выбора. Например, чтобы доказать, что каждое множество может быть вполне упорядочено, требуется полная аксиома выбора.

Существует несколько усиленный вариант   называемый «аксиома зависимого выбора» ( ). Аксиома счётного выбора вытекает из неё, а также из аксиомы детерминированности.

ЛитератураПравить

ПримечанияПравить