Аксиомы Пеано

Аксио́мы Пеа́но — одна из систем аксиом для натуральных чисел, введённая в 1889 году итальянским математиком Джузеппе Пеано.

Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику, доказать многие свойства натуральных и целых чисел, а также использовать целые числа для построения формальных теорий рациональных и вещественных чисел. В сокращённом виде аксиомы Пеано использовались в ряде метаматематических разработок, включая решение фундаментальных вопросов о непротиворечивости и полноте теории чисел.

Изначально Пеано постулировал девять аксиом. Первая утверждает существование по меньшей мере одного элемента множества чисел. Следующие четыре — общие утверждения о равенстве, отражающие внутреннюю логику аксиоматики и исключённые из современного состава аксиом, как очевидные. Следующие три — аксиомы на языке логики первого порядка о выражении натуральных чисел через фундаментальное свойство функции следования. Девятая и последняя аксиома на языке логики второго порядка — о принципе математической индукции над рядом натуральных чисел. Арифметика Пеано — система, получаемая заменой аксиомы индукции системой аксиом на языке логики первого порядка и добавлением символов операций сложения и умножения.

ФормулировкиПравить

СловеснаяПравить

  1. 1 является натуральным числом;
  2. Число, следующее за натуральным, тоже является натуральным;
  3. 1 не следует ни за каким натуральным числом;
  4. Если натуральное число   непосредственно следует как за числом  , так и за числом  , то   и   тождественны;
  5. (Аксиома индукции.) Если какое-либо предположение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа  , вытекает, что оно верно для следующего за   натурального числа (индукционное предположение), то это предположение верно для всех натуральных чисел.

МатематическаяПравить

Математическая формулировка использует функцию следования[en]  , которая сопоставляет числу   следующее за ним число.

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4.  ;
  5.  .

Возможна и иная форма записи:

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4.  .

Последнее утверждение может быть сформулировано так: если некоторое высказывание   верно для   (база индукции) и для любого   из верности   следует верность и   (индукционное предположение), то   верно для любых натуральных  .

Формализация арифметикиПравить

Формализация арифметики включает в себя аксиомы Пеано, а также вводит операции сложения и умножения с помощью следующих аксиом:

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4.  .

О неполнотеПравить

Как следует из теоремы Гёделя о неполноте, существуют утверждения о натуральных числах, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, исходя из аксиом Пеано. Некоторые такие утверждения имеют достаточно простую формулировку, например, теорема Гудстейна или теорема Париса — Харрингтона.

КатегоричностьПравить

Принципиальным фактом является то, что эти аксиомы по сути однозначно определяют натуральные числа (категоричность системы аксиом Пеано). А именно, можно доказать (см.[1], а также краткое доказательство[2]), что если   и   — две модели для системы аксиом Пеано, то они необходимо изоморфны, то есть существует обратимое отображение (биекция)   такая, что   и   для всех  .

Поэтому достаточно зафиксировать в качестве   какую-либо одну конкретную модель множества натуральных чисел.

Например, из аксиомы индукции вытекает, что к любому натуральному числу можно перейти от   за конечное число шагов (с помощью функции  ). Для доказательства выберем в качестве предиката   само это утверждение «к числу   можно перейти от   за конечное число шагов с помощью функции  ». Верно  . Верно также  , поскольку   может быть получено из   при помощи одного применения операции   к числу, которое по предположению   может быть получено из   за конечное число применений  . Согласно аксиоме индукции  .

ИсторияПравить

Необходимость формализации арифметики не принималась всерьёз до появления работы Германа Грассмана, который показал в 1860-х, что многие факты в арифметике могут быть установлены из более элементарных фактов о функции следования и математической индукции. В 1881 году Чарльз Сандерс Пирс опубликовал свою аксиоматизацию арифметики натуральных чисел. Формальное определение натуральных чисел в 1889 году сформулировал итальянский математик Пеано, основываясь на более ранних построениях Грассмана, в своей книге «Основания арифметики, изложенные новым способом» (лат. Arithmetices principia, nova methodo exposita). В 1888 году (за год до Пеано) практически в точности подобную аксиоматическую систему опубликовал Дедекинд[3]. Непротиворечивость арифметики Пеано доказана (англ.) в 1936 году Генценом с помощью трансфинитной индукции до ординала   Как следует из второй теоремы Гёделя о неполноте, это доказательство не может быть проведено средствами самой арифметики Пеано.

ПримечанияПравить

  1. Феферман С. Числовые системы. Основания алгебры и анализа. — 1971. — 445 с.
  2. Доказательство единственности натуральных чисел. Дата обращения: 4 февраля 2011. Архивировано 22 августа 2011 года.
  3. Н. Бурбаки. Основания математики. Логика. Теория множеств // Очерки по истории математики / И. Г. Башмакова (перевод с французского). — М.: Издательство иностранной литературы, 1963. — С. 37. — 292 с. — (Элементы математики).

ЛитератураПравить