Алгебра Кэли

А́лгебра Кэ́ли — система гиперкомплексных чисел, 8-мерная алгебра над полем вещественных чисел. Обычно обозначается , поскольку её элементы (числа Кэли) называются иногда октонионами или октавами.

Впервые рассмотрена в 1843 году Джоном Грейвсом[en], приятелем[1] Уильяма Гамильтона, а двумя годами позже — независимо Артуром Кэли.

Число Кэли — это линейная комбинация элементов . Каждая октава может быть записана в форме:

с вещественными коэффициентами . Октонионы находят применение в физике, в частности, в специальной теории относительности и теории струн[2].

Таблицы умноженияПравить

Таблица умножения элементов октавы:

1 i (e1) j (e2) k (e3) l (e4) il (e5) jl (e6) kl (e7)
i (e1) −1 k j il l kl jl
j (e2) k −1 i jl kl l il
k (e3) j i −1 kl jl il l
l (e4) il jl kl −1 i j k
il (e5) l kl jl i −1 k j
jl (e6) kl l il j k −1 i
kl (e7) jl il l k j i −1
 
Плоскость Фано для мнемонического запоминания таблицы умножения

Таблица (Кэли) умножения октонионов[3]:

e0 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
e1 −1 e3 −e2 e5 −e4 −e7 e6
e2 −e3 −1 e1 e6 e7 −e4 −e5
e3 e2 −e1 −1 e7 −e6 e5 −e4
e4 −e5 −e6 −e7 −1 e1 e2 e3
e5 e4 −e7 e6 −e1 −1 −e3 e2
e6 e7 e4 −e5 −e2 e3 −1 −e1
e7 −e6 e5 e4 −e3 −e2 e1 −1

Иногда заменяются буквенным обозначением:

Номер 1 2 3 4 5 6 7
Буквы i j k l il jl kl
Замена i j k l m n o

СвойстваПравить

По теореме Фробениуса, алгебра Кэли является единственной 8-мерной вещественной альтернативной алгеброй без делителей нуля.

Алгебра Кэли является алгеброй с однозначным делением и с единицей, альтернативной, но неассоциативной и некоммутативной.

Для октониона   операция сопряжения определена равенством:

 .

Сопряжение удовлетворяет равенствам:

  и
 

Вещественная часть октониона   определена равенством:

 ,

мнимая часть:

 .

Норма октониона  :  ;   тогда и только тогда, когда  . Из определения нормы следует, что октонион   обратим и:

 .

ПримечанияПравить

  1. Куда же спряталась самая свободная алгебра? (HTML) (недоступная ссылка) (26 января 2003). Дата обращения: 4 октября 2009. Архивировано 27 февраля 2012 года.
  2. Ian Stewart: The Missing Link Архивная копия от 5 мая 2010 на Wayback Machine  (недоступная ссылка с 19-05-2013 [3045 дней] — история) (англ.). Ссылка недоступна по состоянию на 6 ноября 2010.
    Статья The missing link на yahoo.com, русский перевод на scientific.ru.
  3. Антисимметрия по диагонали для −1

ЛитератураПравить