Алгебра Хопфа

Алгебра Хопфа — ассоциативная алгебра над полем, имеющая единицу и являющаяся также коассоциативной коалгеброй с коединицей (таким образом, являющаяся биалгеброй) c антигомоморфизмом специального вида. Названа в честь Хайнца Хопфа.

Алгебры Хопфа встречаются в алгебраической топологии, где они впервые возникли в связи с концепцией H-пространства, в теории групповых схем, в теории групп (благодаря концепции группового кольца) и не только. Частая распространенность делает их одним из самых известных примеров биалгебр. Алгебры Хопфа также изучаются как самостоятельный объект в связи с большим количеством определённых классов алгебр Хопфа и проблем их классификации.

ОпределениеПравить

Алгебра Хопфа — ассоциативная и коассоциативная биалгебра H над полем   вместе с  -линейным отображением   (называемым антиподом) таким, что следующая диаграмма коммутативна:

 

Здесь Δ — коумножение биалгебры, — её умножение, η — её единица и ε — её коединица. В обозначениях Свидлера, это свойство также может быть выражено как:

 .

Приведённое определение можно обобщить на алгебры над кольцами (достаточно в определении заменить поле   на коммутативное кольцо  ).

Определение алгебры Хопфа двойственно самому себе (это отражено в симметрии приведённой диаграммы), в частности, пространство, двойственное к H (которое всегда можно определить, если H является конечномерным) автоматически является алгеброй Хопфа.

Свойства антиподаПравить

Антипод S иногда обязан иметь R-линейную инверсию, которая является автоматической в конечномерном случае, или если H коммутативна или кокоммутативна (или, вообще говоря, квазитреугольная).

Вообще говоря, S — антигомоморфизм[1], так S2 — гомоморфизм, который является поэтому автоморфизмом, если S было обратимо (как может требоваться).

Если  , то алгебра Хопфа, как говорят, является запутанной (и основная алгебра с запутанностью — *-алгебра). Если H — конечномерная полупростая алгебра по полю характеристики ноль, коммутативная, или кокоммутативная, то это — запутанная алгебра.

Если биалгебра B допускает антипод S, то S единственен («биалгебра допускает самое большее 1 структуру алгебры Хопфа»).[2]

Антипод — аналог к отображению инверсии на группе, которая посылает   к  .[3]

Подалгебры ХопфаПравить

Подалгебра A алгебры Хопфа H является подалгеброй Хопфа, если она является подкоалгеброй H и антипод S отображает A в A. Другими словами, подалгебра Хопфа A — это подпространство в алгебре Хопфа, замкнутое относительно умножения, коумножения и антипода. Теорема Николса — Зеллер (Nichols — Zoeller) о свободности (1989) утверждает, что любой натуральный R-модуль имеет конечный ранг и свободен, если H конечномерна, что даёт обобщение теоремы Лагранжа для подгрупп. Как следствие этой теории, подалгебра Хопфа полупростой конечномерной алгебры Хопфа автоматически полупроста.

Подалгебра Хопфа A называется правой нормальной подалгеброй алгебры Хопфа H, если она удовлетворяет условию стабильности,   для всех h из H, где присоединённое действие   определено как   для всех a из A и h из H. Точно так же подалгебра Хопфа K является левой нормальной в H если она инвариантна при левом сопряжении, определенном как   для всех k из K. Оба условия нормальности эквивалентны, если антипод S биективен. В этом случае говорят, что A = K является нормальной подалгеброй Хопфа.

Нормальная подалгебра Хопфа A в H удовлетворяет условию (равенства подмножеств H):  , где   обозначает ядро коединицы K. Это условие нормальности подразумевает, что   — идеал Хопфа алгебры H (то есть является идеалом алгебры в ядре коединицы, коидеалом коалебры и устойчив под действием антипода). Как следствие, определена факторалгебра Хопфа   и эпиморфизм  , аналогично соответствующим конструкциям нормальных подгрупп и факторгрупп в теории групп.[4]

ПримерыПравить

  1. Групповая алгебра. Пусть G — группа. Алгебра R G — ассоциативная алгебра над R, с единицей. Если мы определим
  2. Δ : R GR GR G, Δ(g) = gg для любого g из G,
  3. ε : R GR, ε(g) = 1 для любого g из G,
  4. S : R GR G, S(g) = g−1 для любого g из G,

то R G превращается в алгебру Хопфа.

 
STU-соотношение и тривиальный случай
  1. Диаграмма китайских иероглифов - связный граф, имеющий лишь трехвалентные вершины, с выделенным ориентированным циклом (петлей Вильсона), и фиксированным циклическим порядком тройки ребер, которые выходят из каждой вершины, не лежащей на петле Вильсона. Группа китайских диаграмм порядка   - свободный  -модуль, порожденный  -вершинными диаграммами (которые рассматриваются с точностью до естественной эквивалентности), факторизованный по подмодулю, порожденному всевозможными  -соотношениями[5].

Когомологии групп ЛиПравить

Алгебра когомологий группы Ли — алгебра Хопфа: умножение — стандартное произведение в кольце когомологий, а коумножение имеет вид

 

в силу умножения группы  . Это наблюдение было фактически источником понятия алгебры Хопфа. Используя эту структуру, Хопф доказал структурную теорему для алгебры когомологий групп Ли.

Теорема Хопфа[6] Пусть A — конечномерная градуированно-коммутативная кокоммутативная алгебра Хопфа над полем характеристики 0. Тогда A (как алгебра) — свободная внешняя алгебра с генераторами нечетной степени.

Квантовые группыПравить

Все примеры выше являются либо коммутативными (то есть умножение коммутативное), либо кокоммутативными (то есть Δ = T ∘ Δ, где T : H ⊗ HH ⊗ H есть перестановка тензорных сомножителей, определенная как T(x ⊗ y) = y ⊗ x). Другими интересными примерами алгебр Хопфа — некоторые деформации, или «квантования», примера 3, которые не являются ни коммутативными, ни кокоммутативными. Эти алгебры Хопфа часто называют «квантовыми группами». Идея состоит в следующем: обычная алгебраическая группа может быть описана в терминах алгебры Хопфа регулярных функций. Мы можем тогда думать о деформации этой алгебры Хопфа как об описании некоторой «квантованной» алгебраической группы (хотя она и не является алгебраической группой ни в каком смысле). Многие свойства алгебраических групп, а также конструкции с ними имеют свои аналоги в мире деформированных алгебр Хопфа. Отсюда название «квантовая группа».

Аналогия с группамиПравить

Группы могут быть аксиоматизированы при помощи тех же диаграмм (эквивалентностей, операций), что и алгебры Хопфа, где H — множество, а не модуль. В этом случае:

  • поле R заменено множеством из 1 элемента
  • есть естественная коединица (отображение в единственный элемент)
  • есть естественное коумножение (диагональное отображение)
  • единица — нейтральный элемент группы
  • умножение — умножение в группе
  • антипод — взятие обратного элемента в группе

В этом смысле о группах можно думать как о алгебрах Хопфа над полем из одного элемента[en].[7]

ПримечанияПравить

  1. Dăscălescu, Năstăsescu & Raianu (2001), Prop. 4.2.6, p. 153 Архивная копия от 6 октября 2014 на Wayback Machine
  2. Dăscălescu, Năstăsescu & Raianu (2001), Remarks 4.2.3, p. 151 Архивная копия от 16 апреля 2014 на Wayback Machine
  3. Quantum groups lecture notes. Дата обращения: 4 июля 2011. Архивировано 4 марта 2016 года.
  4. S. Montgomery, Hopf algebras and their actions on rings, Conf. Board in Math. Sci. vol. 82, A.M.S., 1993. ISBN 0-8218-0738-2
  5. В.А.Васильев - Топология дополнений к дискриминантам. М.: ФАЗИС, 1997.
  6. Hopf, 1941.
  7. Group = Hopf algebra " Secret Blogging Seminar Архивная копия от 9 июля 2011 на Wayback Machine, Group objects and Hopf algebras Архивная копия от 18 апреля 2016 на Wayback Machine, video of Simon Willerton.

СсылкиПравить

  • Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin & Raianu, Șerban (2001), Hopf Algebras, vol. 235 (1st ed.), Pure and Applied Mathematics, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0481-9 .
  • Pierre Cartier, A primer of Hopf algebras (недоступная ссылка), IHES preprint, September 2006, 81 pages
  • Jurgen Fuchs, Affine Lie Algebras and Quantum Groups, (1992), Cambridge University Press. ISBN 0-521-48412-X
  • H. Hopf, Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Ann. of Math. 42 (1941), 22-52. Reprinted in Selecta Heinz Hopf, pp. 119—151, Springer, Berlin (1964). MR: 4784
  • Street, Ross (2007), Quantum groups, vol. 19, Australian Mathematical Society Lecture Series, Cambridge University Press, MR: 2294803, ISBN 978-0-521-69524-4; 978-0-521-69524-4 .

ЛитератураПравить